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El vector de posición describe la ubicación de un objeto en un sistema de coordenadas y varía con el tiempo. El vector de desplazamiento representa el cambio de posición entre dos instantes, diferenciándose de la distancia recorrida. La velocidad es la derivada del vector de posición. La aceleración, a su vez, es la derivada de la velocidad.
Para describir el movimiento de un objeto en dos o tres dimensiones, primero necesitamos establecer un sistema de coordenadas y definir la orientación de los ejes. Usualmente, utilizamos ejes denominados 𝑥, 𝑦 y 𝑧 para ubicar la posición de una partícula en un punto 
. A medida que la partícula se desplaza con el tiempo, cada una de estas coordenadas se convierte en una función temporal:
De esta forma, podemos representar la posición del objeto mediante un vector de posición 
, que se define como el vector que va desde el origen del sistema de coordenadas hasta la posición 
. En notación de vectores unitarios:
Una vez que conocemos la posición del objeto en función del tiempo, podemos describir su desplazamiento en un intervalo de tiempo específico. Supongamos que la partícula se encuentra en la posición 
en el instante 
, y luego se mueve hasta 
en el instante 
. Los correspondientes vectores de posición son 
y 
. El vector de desplazamiento 
se obtiene al restar ambos vectores de posición:
Este vector 
apunta desde hacia y describe el cambio neto de posición durante ese intervalo de tiempo. Es importante diferenciarlo de la distancia recorrida, que sería la longitud total de la trayectoria seguida por la partícula; el desplazamiento, en cambio, solo tiene en cuenta la posición inicial y la final, sin importar el camino que haya seguido el objeto.
Las propiedades del vector desplazamiento son:
Permite ubicar la posición inicial y final de la partícula en el espacio.
Indica tanto la magnitud (longitud) como la dirección del cambio de posición.
Generalmente se obtiene como la diferencia entre los vectores de posición asociados a los instantes de tiempo considerados.
Cuando un objeto se desplaza en más de una dimensión, necesitamos describir no solo lo “rápido” que se mueve, sino también hacia dónde se mueve. Para ello, definimos el vector de velocidad, que se obtiene como la derivada del vector de posición con respecto al tiempo:
Si el vector de posición se expresa como
entonces su derivada con respecto al tiempo produce las componentes del vector de velocidad:
Una forma intuitiva de entender el vector de velocidad es que, en cada instante, apunta tangencialmente a la trayectoria del objeto. Conforme 
se vuelve muy pequeño, la recta que une las posiciones 
y 
se aproxima a la tangente del camino que describe la partícula.
Es importante saber que la rapidez (o módulo de la velocidad) indica únicamente cuán “rápido” se mueve el objeto (magnitud), mientras que la velocidad incluye tanto la rapidez como la dirección de movimiento.
La velocidad puede estudiarse de dos maneras distintas según el intervalo de tiempo que consideremos:
Velocidad media:
La velocidad media en un intervalo de tiempo 
se define como el cambio neto de posición dividido entre la duración del intervalo:
Se basa en la posición inicial y la posición final, sin importar la forma exacta de la trayectoria.
Solo describe el promedio de la velocidad durante ese lapso; no refleja las variaciones que pudieron ocurrir en el medio.
Velocidad instantánea:
La velocidad instantánea es la velocidad “en un momento preciso”, y se encuentra tomando la derivada del vector de posición:
Al ser una derivada, capta los cambios de posición en un intervalo de tiempo cada vez más pequeño, hasta el límite de 
.
Proporciona información más detallada: en qué dirección y qué magnitud tiene la velocidad en ese instante concreto.
La velocidad media resulta útil para describir desplazamientos totales en lapsos largos o para determinar promedios en recorridos extensos; mientras que la velocidad instantánea es esencial cuando queremos entender la dinámica exacta en cada punto de la trayectoria, analizar aceleraciones instantáneas o cambios súbitos de dirección.
En ocasiones, la velocidad media en cierto intervalo puede coincidir con la velocidad instantánea en un instante particular (por ejemplo, en movimientos con aceleraciones y trayectorias específicas), pero lo habitual es que difieran, especialmente cuando hay cambios de magnitud o de dirección a lo largo del recorrido.
La aceleración mide cómo cambia la velocidad de un objeto con el tiempo. De forma análoga a la definición de velocidad como la derivada del vector de posición, definimos el vector de aceleración como la derivada del vector de velocidad:
Si el vector de posición se expresa como
entonces su segunda derivada con respecto al tiempo produce las componentes del vector de aceleración:
Sus principales características son:
La aceleración indica cambios en la magnitud de la velocidad y/o en su dirección.
Cuando un objeto se mueve con velocidad constante, su aceleración es cero, aunque puede continuar desplazándose.
Este vector resulta indispensable para estudiar fenómenos como la fuerza (según la Segunda Ley de Newton), la dinámica de rotación o la dirección de trayectorias curvas.
Al igual que con la velocidad, podemos estudiar la aceleración tanto en un intervalo de tiempo finito como en un instante específico:
Velocidad media:
Se define de forma similar a la velocidad media, considerando el cambio total de la velocidad en un lapso de tiempo :
Solo nos informa del promedio del cambio de la velocidad en ese periodo, sin detallar cómo evoluciona en cada instante intermedio.
Velocidad instantánea:
Para conocer en detalle la variación de la velocidad en un momento exacto, recurrimos a la derivada del vector de velocidad (o la segunda derivada de la posición):
Refleja con precisión la “tasa de cambio” de 
en cada instante, captando cambios bruscos o graduales de dirección y/o magnitud.
La aceleración media es útil para descripciones globales (por ejemplo, cambios de velocidad entre dos instantes conocidos). Por otro lado, la aceleración instantánea es esencial cuando se requiere un análisis detallado, como en sistemas con variaciones constantes o muy rápidas (ej. movimiento armónico, movimientos circulares o vibratorios).
1. Una partícula se mueve en el plano 
con la siguiente función de posición:
donde t está en segundos. Determina el vector de velocidad instantánea, halla la rapidez a los 2 segundos y calcula la velocidad media entre los 1 y 3 segundos.
Solución
El vector de velocidad instantánea es:
Calculamos la velocidad a los 2 segundos:
La rapidez es la magnitud de 
Para obtener la velocidad media entre los 1 y 3 segundos, primero debemos calcular la posición en dichos instantes:
Entonces, la velocidad media es:
Por lo tanto, el vector de velocidad instantánea es
la rapidez a los 2 segundos es
y la velocidad media entre los 1 y 3 segundos es
2. Una partícula se mueve en el plano con:
donde las unidades son metros y el tiempo se mide en segundos. Encuentra la velocidad media entre 
y 
y determina la velocidad instantánea en el instante 
.
Solución
Para obtener la velocidad media entre los 
y 
segundos, primero debemos calcular la posición en dichos instantes:
Entonces, la velocidad media es:
El vector de velocidad instantánea es:
Entonces, la velocidad instantánea en el instante 
es:
Por lo tanto, la velocidad media entre y es
y la velocidad instantánea en el instante es
3. Una partícula tiene la función de velocidad
Determina la aceleración instantánea 
y calcula la aceleración media entre los 1 y 3 segundos.
Solución
El vector de aceleración instantánea es:
Para obtener la aceleración media entre los 1 y 3 segundos, primero debemos calcular la velocidad en dichos instantes:
Entonces, la aceleración media es:
Por lo tanto, el vector de aceleración instantánea es
y la aceleración media entre los 1 y 3 segundos es
