Trigonometría y vectores

Ángel Álvarez
Físico
12 de marzo 2025

Para simplificar los cálculos en el movimiento bidimensional, analizamos por separado las componentes horizontal y vertical. Como el desplazamiento, la velocidad y la aceleración son vectores, podemos descomponerlos usando trigonometría.

 

Razones trigonométricas

Las razones trigonométricas permiten relacionar los lados de un triángulo rectángulo con sus ángulos internos. Las principales razones trigonométricas son:

Trigonometría y vectores
Trigonometría y vectores
Trigonometría y vectores
Trigonometría y vectores

Estas funciones son fundamentales para el estudio de los vectores en Física, ya que nos permiten descomponer un vector en su componente vertical y horizontal.

 

Descomponer un vector en su componente vertical y horizontal

Un vector en el plano se puede expresar en términos de sus componentes horizontal (eje Trigonometría y vectores) y vertical (eje Trigonometría y vectores). Si un vector Trigonometría y vectores tiene una magnitud Trigonometría y vectores y forma un ángulo Trigonometría y vectores con la horizontal, sus componentes se determinan mediante:

  • Componente en :Trigonometría y vectores

  • Componente en :Trigonometría y vectores

Trigonometría y vectores

De esta manera, cualquier vector puede expresarse en función de sus componentes cartesianas.

 

Magnitud de un vector

La magnitud de un vector

Trigonometría y vectores

se calcula usando el Teorema de Pitágoras:

Trigonometría y vectores

Este valor representa la longitud del vector, independientemente de su dirección.

 

Ángulo de un vector con la horizontal

El ángulo que un vector forma con la dirección horizontal se calcula con la función arctan (tangente inversa):

Trigonometría y vectores

Este ángulo permite determinar la dirección del vector en el plano. Algunas observaciones relevantes son:

  • Si Trigonometría y vectoresTrigonometría y vectores: el vector está en el primer cuadrante.

  • Si Trigonometría y vectoresTrigonometría y vectores: el vector está en el segundo cuadrante.

  • Si Trigonometría y vectoresTrigonometría y vectores: el vector está en el tercer cuadrante.

  • Si Trigonometría y vectoresTrigonometría y vectores: el vector está en el cuarto cuadrante.

Trigonometría y vectores

 

Ejercicios resueltos

1. Un barco cruza un río que tiene una corriente de Trigonometría y vectores de oeste a este. El barco tiene una velocidad propia de Trigonometría y vectores hacia el norte. ¿Cuál es la velocidad resultante del barco y en qué dirección se mueve? 

Solución

Descomponemos los vectores:

  • Corriente del río (eje horizontal): Trigonometría y vectores,

  • Velocidad del barco (eje vertical): Trigonometría y vectores.

Trigonometría y vectores

Es decir, el vector velocidad del barco es:

Trigonometría y vectores

Calculamos el módulo de la velocidad resultante:

Trigonometría y vectores

Calculamos el ángulo con respecto al eje horizontal:

Trigonometría y vectores

Por lo tanto, la velocidad resultante del barco es Trigonometría y vectores y se mueve en una dirección de Trigonometría y vectores al noreste.

2. Un avión vuela con una velocidad de 200 m/s hacia el este, pero hay un viento que sopla a 50 m/s hacia el norte. ¿Cuál es la velocidad real del avión y en qué dirección viaja? 

Solución

Descomponemos los vectores:

  • Velocidad del avión (eje horizontal): Trigonometría y vectores,

  • Velocidad del viento (eje vertical): Trigonometría y vectores.

Trigonometría y vectores

Es decir, el vector velocidad del barco es:

Trigonometría y vectores

Calculamos el módulo de la velocidad resultante:

Trigonometría y vectores

Calculamos el ángulo con respecto al eje horizontal

Trigonometría y vectores

Por lo tanto, la velocidad resultante del avión es Trigonometría y vectores y se mueve en una dirección de Trigonometría y vectores al noreste.

3. Un cuerpo está siendo empujado con una fuerza de Trigonometría y vectores que forma un ángulo de Trigonometría y vectores grados con respecto al eje Trigonometría y vectores positivo. Calcula el vector de la fuerza aplicada.

Solución

Para descomponer la fuerza en sus componentes Trigonometría y vectores e Trigonometría y vectores, utilizamos las funciones trigonométricas coseno y seno, teniendo en cuenta que

Trigonometría y vectores  y  Trigonometría y vectores.

Trigonometría y vectores
  • Componente en el eje Trigonometría y vectores (Trigonometría y vectores):

Trigonometría y vectores
  • Componente en el eje Trigonometría y vectores (Trigonometría y vectores):

Trigonometría y vectores

Así, escribimos:

Trigonometría y vectores

 

4. Dos fuerzas actúan sobre un cuerpo, una de 5 N hacia el este y otra de 12 N hacia el norte. Calcule la magnitud de la fuerza resultante.

Solución

Estas dos fuerzas forman un ángulo de 90° entre sí, por lo que podemos usar el teorema de Pitágoras para hallar la fuerza resultante​ Trigonometría y vectores:

Trigonometría y vectores

La magnitud de la fuerza resultante es de 13 N.

Trigonometría y vectores

 

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