Leyes de Kepler

En el siglo XVI, Nicolás Copérnico revolucionó la astronomía al proponer que el Sol era el centro del sistema planetario; más tarde, en el siglo XVII, Johannes Kepler formuló sus célebres leyes.

Primera Ley de Kepler

Esta ley define lo siguiente:

“Los planetas describen órbitas elípticas, estando el Sol en uno de sus focos.”

Una elipse es una curva cerrada donde la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. En nuestro contexto, el Sol se encuentra en uno de los dos focos de la elipse que describe la órbita de un planeta:

La excentricidad () de una elipse mide qué tan alargada está. Se define como:

,

donde es la distancia desde el centro de la elipse a cada foco y es el semieje mayor de la elipse. Además, es importante tener en cuenta lo siguiente:

• : la órbita es una circunferencia perfecta.

• : la órbita es una elipse con diferentes grados de alargamiento.

   

Vemos que la excentricidad de Venus es casi cero, lo que hace que su órbita sea prácticamente circular; mientras que Plutón posee una órbita significativamente elíptica, lo que provoca que haya grandes diferencias en la distancia entre Plutón y el Sol durante su movimiento orbital, resultando en periodos con mayor o menor velocidad areolar según la posición en la órbita.

Segunda Ley de Kepler

Se establece que:

“El vector de posición de cualquier planeta respecto al Sol (vector que se origina en el Sol y se extiende hasta el planeta) barre áreas iguales en tiempos iguales.”

En la figura (si se considera que el tiempo, t, es el mismo), se cumple que: A1=A2. De forma general, el cociente

mide la rapidez con la que el radio vector barre el área, y se conoce como velocidad areolar. Por ello, la segunda ley también puede expresarse diciendo que:

“Los planetas describen sus órbitas alrededor del Sol con velocidad areolar constante.”

Dado que el producto vectorial de dos vectores es igual al área del paralelogramo que forman, se tiene que:

donde usamos que . Por lo tanto,

,

donde:

• y son los módulos de los vectores de posición del planeta en los puntos 1 y 2 (en metros, ).

• y son los módulos de los vectores velocidad del planeta en los puntos 1 y 2 (en metros por segundo, ).

• y son los ángulos que forman los vectores de posición de los planetas con los vectores de velocidad en los puntos 1 y 2 (en radianes, ).

   

Tercera Ley de Kepler

Se propone que:

“Los cuadrados de los períodos de revolución (T) son proporcionales a los cubos de las distancias promedio (r) de los planetas al Sol.”

Es decir,

,

donde T denota el período, r es la distancia media al sol y k es la constante de proporcionalidad (o constante de Kepler), que depende de la masa del astro central. Para el Sistema Solar, k≈3⋅10-19  s2/m3. Generalmente, se cumple que:

,

donde G es la constante de Gravitación Universal y M es la masa del astro central. Como consecuencia de esta ley:

,

donde los subíndices 1 y 2 representan los períodos (T), las distancias medias (r) y la longitud del semieje mayor (a = r) de las órbitas de dos cuerpos que orbitan alrededor de un centro común, como, por ejemplo, dos planetas cualesquiera alrededor del Sol.

Ejercicios resueltos

1. Un planeta se mueve en su órbita alrededor del Sol. En el punto A de su órbita, está a una distancia r1=1,51011 m del Sol y su velocidad es v1=3⋅104 m/s. En el punto B, su distancia al Sol es r2=2,51011 m. Si el ángulo entre el vector posición y el vector velocidad es de 90 en ambos puntos, calcula la velocidad v2 del planeta en el punto B.

Solución

 

Según la Segunda Ley de Kepler, la velocidad areolar es constante:

.

Dado que y , la ecuación se simplifica a:

Sustituyendo los valores:

La velocidad del planeta en el punto B es .

 

2. Un asteroide orbita alrededor del Sol a una distancia promedio de r=4 unidades astronómicas (UA). Sabiendo que la unidad astronómica es la distancia promedio entre la Tierra y el Sol y que el período orbital de la Tierra es de 1 año, calcula el período orbital del asteroide.

3. Dos satélites artificiales, Satélite A y Satélite B, orbitan la Tierra en órbitas circulares. El Satélite A está a una altura de 300 km sobre la superficie terrestre, y el Satélite B está a 900 km de altura. Sabiendo que el radio de la Tierra es RT=6,371⋅106 m, calcula la relación entre los períodos orbitales TB y TA.

4. Utilizando la Ley de Gravitación Universal y considerando que los planetas describen órbitas con movimiento circular uniforme, sometidos a la fuerza gravitatoria (que actúa como fuerza centrípeta), obtén la expresión para calcular la constante de Kepler (k). Calcula su valor numérico para el Sistema solar, teniendo en cuenta que G=6,67⋅10-11 N⋅m2/kg2 y MSol=1,98⋅1030 kg.