Operaciones con vectores: suma, producto escalar y productor vectorial

Suma de vectores

Los vectores son magnitudes que pueden sumarse entre sí. Si consideramos dos vectores, como y , su suma se expresa combinando sus componentes correspondientes:

.

Además, la suma de vectores obedece a la llamada desigualdad triangular, la cual establece que la magnitud del vector resultante siempre es menor o igual a la suma de las magnitudes de los vectores originales:

.

Por otro lado, la diferencia de vectores se puede escribir como la suma de un vector más su opuesto:

.

También es posible multiplicar un vector por un escalar, es decir, un número real, lo que se traduce en multiplicar cada una de las componentes del vector por dicho escalar. Si es el escalar () y , entonces el producto por el escalar es:

.

Se puede demostrar que la magnitud del vector resultante es el producto de la magnitud del escalar por la magnitud del vector original:

Producto escalar

Los vectores también pueden multiplicarse entre sí, y uno de los tipos de multiplicación más importantes es el producto escalar. Este tipo de producto resulta en un número real, que puede ser positivo, negativo o cero. En física, el producto escalar se representa con un punto entre los dos vectores () y se define de la misma forma que en matemáticas. El producto escalar entre dos vectores y es el resultado de multiplicar los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman, es decir, 

,

donde es el ángulo entre los vectores.

Cuando los vectores y están expresados en términos de sus componentes, el producto escalar se calcula como la suma de los productos de sus componentes correspondientes:

.

Si el producto escalar de dos vectores es cero, significa que el coseno del ángulo es cero, lo que implica que el ángulo entre ellos es de 90º, y por lo tanto, los vectores son perpendiculares. Asimismo,

La definición del producto escalar permite calcular el ángulo entre dos vectores a partir de sus componentes. Utilizando la expresión para el producto escalar en términos de las componentes, podemos obtener el ángulo entre dos vectores y como:

Además, el producto escalar tiene propiedades fundamentales. Se puede demostrar que es conmutativo, es decir, 

.

También cumple la propiedad distributiva respecto a la suma de vectores:

.

Por último, la magnitud de la suma de dos vectores se puede expresar como:

.

Producto vectorial

Los vectores también pueden multiplicarse de manera que el resultado sea otro vector. En este caso, es necesario especificar tanto su magnitud como su dirección. Cuando se tienen dos vectores, y , el producto vectorial se denota mediante el símbolo, es decir, . La magnitud del producto vectorial se define como:

,

donde es el ángulo que forman los vectores y . Según esta definición, está claro que, si los vectores son paralelos, entonces . La dirección del vector resultante se determina mediante la regla de la mano izquierda, lo que se puede visualizar como el movimiento de un tornillo o destornillador. Para entender mejor el sentido del producto vectorial, al calcular , se debe imaginar que el vector gira hacia el vector por el camino más corto y observar el sentido de dicho giro:

El producto vectorial siempre produce un vector perpendicular al plano definido por y y además es anticonmutativo, lo que significa que

.

Las componentes del producto vectorial se pueden calcular usando los productos vectoriales de los vectores unitarios , y . Se puede expresar de forma compacta mediante el determinante:

.

También se cumple la propiedad distributiva con respecto a la suma:

.

El producto vectorial es fundamental en física, ya que muchas magnitudes, como el momento angular y la fuerza magnética, se definen a partir de esta operación, lo que conduce a importantes consecuencias como la conservación del momento angular en sistemas de fuerzas centrales.

Ejercicios resueltos.

1. Dados los vectores y , calcula la suma de ambos vectores.

Solución

La suma de dos vectores se realiza sumando sus componentes correspondientes:

Por lo tanto, la suma de y es .

 

2. Calcula el producto escalar de los vectores y .

Solución

El producto escalar de dos vectores se obtiene multiplicando las componentes correspondientes y luego sumándolas:

.

Por lo tanto, 

.

3. Dados los vectores y , calcula el ángulo entre ellos.

Solución

El ángulo entre y es:

Por lo tanto, el ángulo es 53,3º.

4. Calcula el producto vectorial de los vectores y .

Solución

El producto vectorial se calcula usando el determinante:

.

Por lo tanto, el producto vectorial es .