Ejercicio: Calcular el campo gravitatorio en el vértice de un cuadrado

Ejercicio:

En un cuadrado de lado a=3 m, se encuentran tres masas puntuales distribuidas en tres de sus vértices de la siguiente manera:

• Vértice A: Masa M1=8 kg.
• Vértice B: Masa M2=5 kg.
• Vértice C: Masa M3=10 kg.

Se desea calcular:

1. La intensidad del campo gravitatorio en el cuarto vértice D del cuadrado.

2. La fuerza gravitatoria que sufre una masa de m=12 kg si se coloca en el cuarto vértice D del cuadrado.

3. El potencial gravitatorio en el cuarto vértice D del cuadrado.

Solución:

Consideremos el cuadrado ubicado en el plano cartesiano para facilitar los cálculos. Las coordenadas de los vértices se asignan de la siguiente manera: 

• Vértice : Masa .

• Vértice : Masa .

• Vértice : Masa .

• Vértice : Masa m.

Recordemos también que la constante gravitacional es

Vamos a resolver cada apartado por separado:

1. La intensidad del campo gravitatorio en el cuarto vértice D del cuadrado.

Representamos en primer lugar la situación descrita por el enunciado:

Sabemos que la expresión del campo gravitatorio (en módulo) es:

donde es la masa del cuerpo que genera dicho campo, es la constante gravitacional y es la distancia desde la masa hasta el punto.

Para la masa , vemos que:

Entonces, tal y como se observa en el dibujo:

De manera similar, para la masa se tiene que:

Debemos descomponer en su componente vertical y horizontal. Para ello, obtenemos primero el ángulo del vértice B:

Por ende,

Finalmente, para la masa se tiene que:

Entonces, tal y como se observa en el dibujo:

Entonces, aplicando el principio de superposición:

Hallamos el módulo:

Por lo tanto, el módulo del campo gravitatorio en el punto es

2. La fuerza gravitatoria que sufre una masa de si se coloca en el cuarto vértice D del cuadrado.

El dibujo correspondiente a este apartado es:

La fuerza pedida se obtiene mediante la expresión:

Hallamos el módulo:

Por lo tanto, la fuerza gravitatoria que sufre una masa de si se coloca en el cuarto vértice D del cuadrado es

3. El potencial gravitatorio en el cuarto vértice D del cuadrado.

El potencial gravitatorio viene dado por:

Aplicando el principio de superposición:

Sacando factor común de :

Calculando el valor numérico:

Por lo tanto, el potencial gravitatorio en el cuarto vértice D del cuadrado es .