Ejercicio: Calcular el campo gravitatorio en el vértice de un cuadrado

Ángel Álvarez
Físico
18 de diciembre 2024

Ejercicio:

En un cuadrado de lado a=3 m, se encuentran tres masas puntuales distribuidas en tres de sus vértices de la siguiente manera:

  • Vértice A: Masa M1=8 kg.
  • Vértice B: Masa M2=5 kg.
  • Vértice C: Masa M3=10 kg.

Se desea calcular:

1. La intensidad del campo gravitatorio en el cuarto vértice D del cuadrado.

2. La fuerza gravitatoria que sufre una masa de m=12 kg si se coloca en el cuarto vértice D del cuadrado.

3. El potencial gravitatorio en el cuarto vértice D del cuadrado.

 

Solución:

Consideremos el cuadrado ubicado en el plano cartesiano para facilitar los cálculos. Las coordenadas de los vértices se asignan de la siguiente manera: 

  • Vértice Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.: Masa Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado..

  • Vértice Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.: Masa Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado..

  • Vértice Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.: Masa Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado..

  • Vértice Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.: Masa mCalcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado..

Recordemos también que la constante gravitacional es Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.

Vamos a resolver cada apartado por separado:

 

1. La intensidad del campo gravitatorio en el cuarto vértice D del cuadrado.

Representamos en primer lugar la situación descrita por el enunciado:

Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.

Sabemos que la expresión del campo gravitatorio (en módulo) es:

Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.

donde Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado. es la masa del cuerpo que genera dicho campo, Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado. es la constante gravitacional y Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado. es la distancia desde la masa hasta el punto.

Para la masa Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado., vemos que:

Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.
Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.

Entonces, tal y como se observa en el dibujo:

Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.

De manera similar, para la masa Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado. se tiene que:

Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.
Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.

Debemos descomponer Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado. en su componente vertical y horizontal. Para ello, obtenemos primero el ángulo del vértice B:

Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.

Por ende,

Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.

Finalmente, para la masa Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado. se tiene que:

Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.
Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.

Entonces, tal y como se observa en el dibujo:

Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.

Entonces, aplicando el principio de superposición:

Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.

Hallamos el módulo:

Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.

 

Por lo tanto, el módulo del campo gravitatorio en el punto Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado. es Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.

 

2. La fuerza gravitatoria que sufre una masa de Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado. si se coloca en el cuarto vértice D del cuadrado.

El dibujo correspondiente a este apartado es:

Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.

La fuerza pedida se obtiene mediante la expresión:

Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.

Hallamos el módulo:

Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.

 

Por lo tanto, la fuerza gravitatoria que sufre una masa de Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado. si se coloca en el cuarto vértice D del cuadrado es Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.

 

3. El potencial gravitatorio en el cuarto vértice D del cuadrado.

El potencial gravitatorio viene dado por:

Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.

Aplicando el principio de superposición:

Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.

Sacando factor común deCalcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado. :

Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.

Calculando el valor numérico:

Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado.

 

Por lo tanto, el potencial gravitatorio en el cuarto vértice D del cuadrado es Calcular intensidad fuerza, y potencial gravitatorio en el vértice de un cuadrado..

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