Ejercicio resuelto: Colocar un satélite en órbita

Ángel Álvarez
Físico
18 de diciembre 2024

Enunciado

Se lanza verticalmente un satélite de masa Ejercicio: Colocar un satélite en órbita desde la superficie de la Tierra.

a) Determina la energía que hay que comunicar al satélite para colocarlo en una órbita circular de radio Ejercicio: Colocar un satélite en órbita, donde Ejercicio: Colocar un satélite en órbita es el radio de La Tierra.

b) Calcula la energía mínima que se requiere para trasladar el satélite hasta la Luna.

 

Datos:

  • Masa de la Tierra: Ejercicio: Colocar un satélite en órbita.

  • Masa de la Luna: Ejercicio: Colocar un satélite en órbita.

  • Radio de la Tierra: Ejercicio: Colocar un satélite en órbita.

  • Radio de la Luna: Ejercicio: Colocar un satélite en órbita.

  • Distancia entre la Tierra y la Luna: Ejercicio: Colocar un satélite en órbita. ​

  • Constante de gravitación universal: Ejercicio: Colocar un satélite en órbita

 

Solución

Vamos a resolver cada apartado por separado:
 

 

a) Determina la energía que hay que comunicar al satélite para colocarlo en una órbita circular de radio Ejercicio: Colocar un satélite en órbita, donde Ejercicio: Colocar un satélite en órbita es el radio de La Tierra.

Representamos en primer lugar la situación descrita por el enunciado:

Ejercicio: Colocar un satélite en órbita

 

La energía mecánica en la superficie es la suma de la energía cinética y potencial gravitatoria. Sin embargo, en la superficie, si el satélite está en reposo, su energía cinética es cero:

Ejercicio: Colocar un satélite en órbita

La energía mecánica en la órbita de radio Ejercicio: Colocar un satélite en órbita es la suma de la energía cinética y la energía potencial gravitatoria:

 

Ejercicio: Colocar un satélite en órbita

donde Ejercicio: Colocar un satélite en órbita es la velocidad orbital, que se calcula como:
 

Ejercicio: Colocar un satélite en órbita

Sustituyendo en la expresión anterior:

 

Ejercicio: Colocar un satélite en órbita

La energía necesaria es la diferencia entre la energía mecánica en órbita y la energía mecánica en la superficie:

 

Ejercicio: Colocar un satélite en órbita

Sustituimos los valores proporcionados por el enunciado:

 

Ejercicio: Colocar un satélite en órbita

 

Por lo tanto, la energía que hay que comunicar al satélite para colocarlo en una órbita circular de radio Ejercicio: Colocar un satélite en órbita, donde Ejercicio: Colocar un satélite en órbita es el radio de La Tierra, es Ejercicio: Colocar un satélite en órbita

 

 

b) Calcula la energía mínima que se requiere para trasladar el satélite hasta la Luna.

En este caso, la representación es:

Ejercicio: Colocar un satélite en órbita

La energía mecánica en la órbita de radio Ejercicio: Colocar un satélite en órbita fue calculada anteriormente:

Ejercicio: Colocar un satélite en órbita

La energía mecánica en la superficie de la Luna es la suma de las energías potenciales debido a La Tierra y a la Luna, dado que el satélite se encuentra en reposo sobre su superficie:

Ejercicio: Colocar un satélite en órbita

Sustituyendo los valores en ambas expresiones:

Ejercicio: Colocar un satélite en órbita
Ejercicio: Colocar un satélite en órbita

La energía necesaria es la diferencia entre la energía mecánica en la superficie de la Luna y la energía mecánica en órbita:

Ejercicio: Colocar un satélite en órbita

 

Por lo tanto, la energía que hay que comunicar al satélite para llevarlo a la Luna desde una órbita circular de radio Ejercicio: Colocar un satélite en órbita, donde Ejercicio: Colocar un satélite en órbita es el radio de La Tierra, es Ejercicio: Colocar un satélite en órbita.

 

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