Velocidad orbital y velocidad de escape

La velocidad orbital y de escape son fundamentales para entender cómo los cuerpos mantienen su órbita o logran liberarse de la atracción gravitatoria.

Velocidad orbital

Un satélite es un objeto que orbita alrededor de un cuerpo mayor, considerado como el generador del campo gravitatorio. Para simplificar, asumiremos que un satélite describe una órbita circular alrededor de un planeta:

Al moverse en esta trayectoria, el satélite experimenta una aceleración centrípeta debido a la fuerza central que actúa sobre él, por lo que las magnitudes de la fuerza centrípeta y la fuerza gravitatoria son iguales:

donde . Considerando los parámetros mostrados en la figura:

donde representa la masa del satélite, la cual, al simplificarse, demuestra que la velocidad orbital no depende de la masa del cuerpo en movimiento:

Esta relación indica que la velocidad orbital es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la distancia a la que se encuentra el satélite del centro del planeta. La fórmula puede adaptarse para incluir la intensidad del campo gravitatorio,

conocida también como la primera velocidad cósmica.

En el caso de una órbita elíptica, la distancia entre los centros de los dos cuerpos varía. En esta situación, la energía potencial del satélite (o planeta) también cambia, pues depende de la distancia entre los centros de las masas.

Sin embargo, dado que únicamente actúa una fuerza conservativa, la energía total se mantiene constante. Por lo tanto, entre dos puntos distintos de la órbita elíptica, se cumple que

En el punto 1, la distancia es mayor y la energía potencial es menos negativa que en el punto 2. Para cumplir la igualdad, la energía cinética en el punto 1 debe ser menor que en el punto 2, es decir, la velocidad del cuerpo en órbita elíptica disminuye cuando está más alejado del foco y viceversa.

Velocidad de escape

Para lograr que un objeto lanzado desde la superficie de La Tierra escape de su campo gravitatorio, es necesario proporcionarle una velocidad considerable. Esta velocidad se conoce como velocidad de escape, y representa la rapidez mínima que un objeto debe alcanzar para liberarse de la atracción gravitatoria terrestre.

Consideremos un objeto que es lanzado desde la superficie terrestre, asumiendo además que no existe resistencia del aire. Bajo estas condiciones ideales:

Si el objeto alcanza una posición en el infinito (punto 2), podemos afirmar que ha escapado completamente del campo gravitatorio de La Tierra. En el caso de que el objeto se detenga en este punto:

Por consiguiente,

Al resolver la ecuación para la velocidad:

Esta fórmula es conocida como la segunda velocidad cósmica. Algunas observaciones importantes son:

• Independencia de la masa: La velocidad de escape no depende de la masa del objeto que intenta escapar. Es decir, tanto un proyectil como una molécula requieren la misma velocidad de escape para liberarse de la gravedad terrestre.

• Conservación de la energía mecánica: Un objeto que ha alcanzado la velocidad de escape posee una energía mecánica total igual a cero.

• Reducción de la velocidad de escape con altitud: Si un objeto es lanzado desde una altura significativa sobre la superficie terrestre, la velocidad de escape requerida disminuye. Matemáticamente, esto se expresa como:

Ejercicios resueltos

1. Un satélite se encuentra en una órbita circular a una altura de 300 km sobre la superficie de La Tierra. Calcula la velocidad orbital de este satélite.

Datos:

• Radio de La Tierra, .

• Masa de La Tierra, .

• Constante de gravitación universal,

Solución

El radio de la órbita es (desde el centro de La Tierra):

Usando la fórmula de la velocidad orbital deducida anteriormente:

Por lo tanto, la velocidad orbital del satélite es aproximadamente .

2. Calcula la velocidad de escape desde la superficie de Marte.

Datos:

• Radio de Marte, .

• Masa de Marte, .

• Constante de gravitación universal,

Solución

Aplicamos la fórmula de la velocidad de escape, que fue deducida anteriormente:

La velocidad de escape desde la superficie de Marte es aproximadamente .

3. Un objeto es lanzado desde una altura de 2000 km sobre la superficie de la Tierra. Calcula la velocidad de escape requerida en esta altura.

Datos:

• Radio de La Tierra, .

• Masa de La Tierra, .

• Constante de gravitación universal,

Solución

El radio de la órbita es (desde el centro de La Tierra):

Usando la fórmula de la velocidad de escape, que fue obtenida anteriormente:

La velocidad de escape requerida desde una altura de 2000 km sobre la superficie terrestre es aproximadamente .