Fuerzas conservativas y Trabajo

Las fuerzas conservativas son aquellas en las que el trabajo depende solo de los puntos inicial y final, lo que permite conservar la energía en un sistema. Este concepto es clave para resolver problemas de campo gravitatorio.

Trabajo

El trabajo se define como

donde es el ángulo que forman y , siendo este último el vector desplazamiento. De manera similar, el trabajo realizado por mover un objeto desde el punto A al punto B también puede calcularse como:

Fuerza conservativa

Una fuerza conservativa es aquella cuya variación de trabajo depende únicamente de la posición inicial y final del objeto, y no de la trayectoria seguida entre estos dos puntos. En otras palabras, el trabajo realizado por una fuerza conservativa en un recorrido cerrado (que comienza y termina en el mismo punto) es siempre cero. 

La fuerza gravitatoria es un excelente ejemplo de fuerza conservativa. Consideremos la interacción gravitatoria entre dos cuerpos, como la Tierra y un objeto lanzado hacia arriba.  Supongamos que lanzamos un objeto hacia arriba desde un punto situado a una altura respecto a la superficie terrestre. El objeto alcanza una altura máxima en el punto y luego desciende de nuevo al punto :

Durante este proceso, la fuerza gravitatoria realiza trabajo sobre el objeto en dos etapas:

• Cuerpo subiendo: Mientras el objeto asciende, la fuerza gravitatoria actúa en dirección opuesta al desplazamiento. El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es negativo, ya que la fuerza y el desplazamiento están en direcciones opuestas:

donde:

• es la Consatnte de Gravitación Universal.
• y son las masas de los cuerpos involucrados.

• es la distancia entre los centros de los cuerpos.

• e son las alturas finales e iniciales, respectivamente.

• Cuerpo bajando: Al descender, la fuerza gravitatoria y el desplazamiento están en la misma dirección. Por lo tanto, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es positivo:

Si consideramos el ciclo completo de subir y bajar, el trabajo total realizado por la fuerza gravitatoria es la suma de los trabajos en ambas etapas:

Como se puede observar, el trabajo total realizado por la fuerza gravitatoria en un recorrido cerrado es cero, lo que confirma que la fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa.

“Una fuerza se considera conservativa si el trabajo que realiza al recorrer una trayectoria cerrada es igual a cero. Es decir, el trabajo efectuado por dicha fuerza entre dos puntos cualesquiera es siempre el mismo, sin importar el camino seguido entre ellos.”

La fuerza elástica y eléctrica también son fuerzas conservativas. Un ejemplo de una fuerza no conservativa es la fuerza de rozamiento dinámica, pues es una fuerza que siempre se opone al movimiento y, por tanto, siempre formará un ángulo de 180º con el desplazamiento. La fuerza magnética tampoco es conservativa.

Ejercicios resueltos

1. En una determinada región del espacio existen dos puntos A y B en los que el potencial gravitatorio es el mismo. ¿Cuál sería el trabajo realizado por el campo gravitatorio al desplazar una masa m desde A hasta B?

2. En un resorte ideal con constante elástica k=200 N/m, se comprime desde su posición de equilibrio una distancia de xa=0 m hasta xb=0,05 m. Calcula el trabajo realizado por la fuerza elástica durante esta compresión.

Solución

 

La fuerza elástica está dada por la ley de Hooke:

El trabajo realizado por una fuerza conservativa como la fuerza elástica se puede calcular mediante:

El trabajo realizado por la fuerza elástica es

 

3. Un objeto de masa m=10 kg se mueve en un campo gravitatorio uniforme con aceleración g=9,8 m/s2. Calcula el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al elevar el objeto desde el suelo hasta una altura de h=5 m.

Solución

 

La fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa y está dada por:

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al mover el objeto verticalmente es:

Sustituyendo los valores:

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es .

 

4. Determina si la fuerza magnética es conservativa. Justifica tu respuesta utilizando las propiedades de las fuerzas conservativas.

Solución

 

Para determinar si una fuerza es conservativa, debemos verificar si el trabajo realizado por dicha fuerza en un recorrido cerrado es cero y si el trabajo entre dos puntos cualesquiera es independiente de la trayectoria seguida.

La fuerza magnética sobre una partícula con carga y velocidad está dada por

 

Donde es el campo magnético.

Observamos que la fuerza magnética siempre es perpendicular a la velocidad de la partícula, es decir, . Por lo tanto, el trabajo realizado por la fuerza magnética en cualquier desplazamiento es:

Dado que el trabajo es siempre cero para cualquier trayectoria, se podría pensar que es conservativa. Sin embargo, para ser estrictamente conservativa, además de que el trabajo en cualquier recorrido cerrado sea cero, debe existir una función potencial que dependa solo de la posición.

La fuerza magnética no puede ser expresada como el gradiente de una función potencial escalar porque depende de la velocidad de la partícula. Por lo tanto, la fuerza magnética no es una fuerza conservativa.

La fuerza magnética no es conservativa porque no cumple con las condiciones necesarias de una fuerza conservativa, ya que su trabajo no depende únicamente de los puntos inicial y final, y no puede ser expresada mediante una función potencial escalar.