Volúmenes, levantamiento sobre planos inclinados y sección con planos y rectas

Introducción volúmenes

Entendemos por volumen una figura que tiene 3 dimensiones y que por tanto genera un volumen en el espacio.

Existen dos tipos de volúmenes: los platónicos (tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro), los irregulares (pirámides y prismas ya sean inclinados o rectos) y los de revolución (conos, cilindros y esferas). 

Cada uno funcionará de una forma determinada. Para los platónicos lo más importante es saber realizar la sección principal para obtener la altura, los irregulares no tienen dificultad ninguna y para los de revolución hay que saber como funcionan bien para desarrollar secciones con ellos.

Sólidos platónicos. Sección principal tetraedro y octaedro

El problema principal del tetraedro y el octaedro es desarrollar la figura sin saber cuanto mide su altura (no suele ser un dato del problema). Para ello siempre acudiremos a una construcción auxiliar llamada sección principal.

El tetraedro es el volumen platónico que tiene como base un triángulo equilátero y sus caras son desarrollo de esta base.

Para sacar la altura primero debemos sacar el baricentro y trazar perpendicular a una de sus alturas.

Concentramos en C y con radio CB donde corte a la perpendicular obtenemos D, vértice del tetraedro y por tanto la altura del mismo.

El octaedro es un solido platónico compuesto a base de 8 triángulos equiláteros que conforman una doble pirámide de base cuadrada.

Para calcular la altura total del octaedro conociendo sus caras debemos sacar dos medianas del triángulo equilátero, y concentrando en un vértice hasta dicha mediana hasta que corte con el compás a la vertical tal cual viene hecho en la figura.

Con el caso del hexaedro o cubo no hay problema para calcular la altura ya que es igual a la base.

Levantar figura apoyada sobre un plano

Cualquier sólido apoyado en un plano, tendrá su altura totalmente perpendicular a este. Con esta premisa y sabiendo que en diédrico la perpendicularidad entre plano y recta es directa, cualquier figura apoyada en un plano oblicuo, proyectante o paralelo a línea de tierra, tendrá su altura como una recta perpendicular a este.

Ejercicio resuelto: Dados los puntos A y B contenidos en el plano, levantar un prisma recto con base de triángulo equilátero de 20 mm de altura.

Solución

Abatimos el plano Q y los puntos A y B.

Construimos sobre le abatimiento la base de triángulo equilátero, desabatimos los puntos tanto en proyección horizontal como vertical.

Trazamos la altura sobre uno de los vértices perpendicular a las trazas del plano. Tomamos un punto cualquiera sobre la recta perpendicular para emplear el método de la diferencia de cota para “abatir” la recta sobre una de sus proyecciones. Cuando la abatamos podremos tomar verdadera magnitud.

Una vez tengamos todas las aristas de altura 20 mm, construimos la figura teniendo en cuenta partes vistas y ocultas. 

 

Sección de planos con sólidos irregulares

Para construir la sección producida por un plano oblicuo sobre un sólido se recomiendan dos métodos principalmente:

1. Interpretar las aristas del volumen como rectas y resolver el ejercicio de intersección entre recta y plano. Una vez tengamos todas las intersecciones entre las aristas y el plano, obtendremos la sección buscada.

2. Convertir el plano oblicuo en un plano proyectante mediante cambio de plano o giro, una vez tengamos el ejercicio en una posición favorable, realizar la sección directamente con el plano proyectante.

Ejercicio resuelto: Realizar la sección producida por el plano Q en el sólido dado.

Solución

Consideramos las aristas del sólido rectas, por lo que buscamos el punto de intersección entre recta y plano. Nos apoyamos en un proyectante auxiliar, hacemos intersección de recta y recta y por último obtenemos los puntos de corte. Uniendo esos puntos en orden correcto obtenemos la intersección.

Otra forma de resolverlo es mediante un cambio de plano, convirtiendo el plano oblicuo en un plano proyectante.

Realizamos la sección como si fuese un proyectante obteniendo los puntos de corte, los pasamos a proyección horizontal y vertical y uniendo los puntos en orden correcto obtendremos la sección buscada.

 

Sección con polígonos de revolución

Los sólidos de revolución funcionan un poco diferente al resto de sólidos. Veremos pormenorizado el caso del cono y de la esfera con un plano proyectante y con una recta.

Ejercicio resuelto: Sección de cono con plano proyectante.

Solución

Para trabajar con puntos pertenecientes al cono, tenemos que relacionarlos previamente con su vértice y con su base. Tomamos puntos cualquiera de la sección producida en proyección vertical, los relacionamos con el vértice y la base.  Una vez hagamos esto, nos llevamos los puntos de la base a la proyección horizontal y los volvemos a unir con el vértice y así iremos consiguiendo consecutivamente los puntos deseados.

 

Ejercicio resuelto: Sección de semiesfera con recta.

Solución

Para cualquier intersección de recta con sólido debemos apoyarnos en un plano auxiliar, genera el corte de ese plano con el sólido y ver puntos de entrada y salida de la recta. Como la recta en este caso es horizontal, la contenemos en un plano horizontal Q. Este plano genera con la semiesfera una sección circular.

Por último, vemos los puntos de entrada y salida de la recta con la sección producida de modo que podemos saber dónde entra y sale en el sólido.