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El punto es el elemento más básico que utilizaremos en diédrico, pero para hablar de él necesitamos antes conocer que son las coordenadas en diédrico. Un punto podría denominarse como un pixel en el espacio que tiene 3 coordenadas:
Distancia al origen o lateralidad. Definiendo un origen sobre la línea de tierra, la distancia al origen o lateralidad sería la distancia sobre la línea de tierra que hay entre el origen y las proyecciones del punto.
Alejamiento. Llamamos alejamiento a la distancia que hay del punto al plano vertical de proyección.
Cota. Llamamos cota a la distancia que hay del punto al plano horizontal de proyección.
Por tanto, cada punto tendrá 3 coordenadas P (X, Y, Z).
El punto se definirá siempre por sus dos proyecciones diédricas, la proyección horizontal y la vertical. P (P1, P2). Estas dos proyecciones siempre quedan alineadas verticalmente y en perpendicular a la línea de tierra.
Cualquier elemento se representa por la proyección del mismo sobre estos dos planos, teniendo por tanto dos proyecciones, Horizontal y Vertical. Sobre la proyección vertical siempre apreciaremos las cotas y sobre la proyección horizontal los alejamientos.
Como veíamos en el apartado anterior tenemos 4 cuadrantes del espacio, cada uno de ellos con propiedades concretas. Los puntos pueden encontrarse en cualquier lugar del espacio (cualquiera de los cuadrantes, planos de proyección, planos bisectores y incluso línea de tierra).
En función a sus coordenadas sabremos donde se encuentra el punto, teniendo como referencia la siguiente imagen. En el primer cuadrante todo será positivo (alejamientos y cotas) y el resto de cuadrantes funciona como el circulo goniométrico de trigonometría.
Surge aquí el “problema” de que, al plegarse un plano sobre otro a través de la línea de tierra como bisagra, en los puntos donde tengamos alejamiento negativo o cota negativa las dos proyecciones se superpondrán.
Todos los puntos que se encuentren en el segundo cuadrante tendrán alejamiento negativo. Por tanto, sus dos proyecciones se encontrarán siempre por encima de la línea de tierra.
Todos los puntos en el tercer cuadrante tendrán ambas proyecciones negativas, por tanto, se encontrarán cambiadas de lugar, las cotas las tendremos por debajo de línea de tierra y los alejamientos por encima de la misma.
Todos los puntos que se encuentren en el cuarto cuadrante tendrán cota negativa. Por tanto, sus dos proyecciones siempre se encontrarán por debajo de línea de tierra.
Los puntos por supuesto se podrán encontrar en los planos de proyección siempre y cuando tengan o alejamiento 0 o cota 0. Si ambas coordenadas son 0, se encontrarán sobre la línea de tierra.
Como decíamos con anterioridad, los bisectores parten a los cuadrantes en 2 mediante un plano bisectriz (forma 45º con el plano de proyección vertical y horizontal). Acudiendo de nuevo al circulo goniométrico de trigonometría, sabíamos que en 45º el seno y el coseno son iguales. Lo mismo sucederá en diédrico, cualquier punto contenido en cualquiera de los 2 bisectores, tiene misma cota que alejamiento.
Desde el punto de vista diédrico y goniométrico vemos que los alejamientos y las cotas son iguales.
L
La tercera proyección es una proyección auxiliar que se utiliza en casos concretos donde se nos facilitará la resolución de ciertos problemas. Para obtener la tercera proyección debemos imaginarnos un tercer plano de proyección perpendicular al plano de proyección vertical y al plano de proyección horizontal.
Al igual que el plano horizontal se pliega a través de la línea de tierra como bisagra sobre el vertical, el plano de perfil se plegará sobre su “traza vertical” sobre el propio plano vertical de la siguiente manera.
Para obtener la tercera proyección primero debemos plantear un plano de perfil auxiliar a través del cual se plegará la proyección. Una vez establecido el plano de perfil, la cota siempre mantiene su horizontalidad. El alejamiento buscará horizontalmente la línea auxiliar del plano de perfil y girará hasta colocarse en su correspondiente cuadrante, buscando posteriormente a la cota.
En la tercera proyección por tanto veremos a la vez cota y alejamiento y por tanto, como el plano vertical y el horizontal se cortan perpendicularmente contemplando al plano de perfil desde esa perpendicularidad.
Los puntos en función a sus coordenadas y su posición en el espacio, en plano de perfil los veremos de la siguiente forma.
1. Dibujar las proyecciones de los siguientes puntos y trazar su tercera proyección.
Solución
Comenzamos con los puntos A y B. El punto A tiene como lateralidad 15 positivo, tomaremos esa medida hacia la derecha desde el origen. Tiene 20 de alejamiento positivo asique tomos esa medida por debajo de línea de tierra. Tiene 30 de cota por lo que tomamos 30 positivo hacia arriba sobre línea de tierra. Claramente al tener sus dos coordenadas positivas, es un punto situado en el primer cuadrante.
El punto B tiene 40 de lateralidad, al ser positivo lo tomamos hacia la derecha desde el origen. El punto B tiene 35 de alejamiento negativo, lo tomamos por encima de línea de tierra. Tiene también 35 de cota positiva, lo tomamos por encima de línea de tierra también. Vemos que el punto tiene sus dos proyecciones por encima de línea de tierra, signo de que esta en el segundo cuadrante. Al tener además misma cota que alejamiento podemos decir que se encuentra en el segundo bisector.
Continuamos con el punto C y D.
El punto C tiene lateralidad 60, siendo positiva la tomamos hacia la derecha. Tiene de alejamiento -20 y de cota -45, tomaremos el alejamiento hacia arriba negativo y la cota hacia abajo negativa. El punto tiene todo negativo, por lo que sabemos que se encuentra en el tercer cuadrante.
El punto D tiene lateralidad negativa 30, por lo que lo tomamos del origen hacia la izquierda. Tiene alejamiento positivo 40, lo tomamos hacia abajo. Tiene cota negativa -15, por lo que lo tomamos hacia abajo tambien. El punto esta en el cuarto cuadrante ya que tiene sus dos proyecciones por debajo de línea de tierra.
Vamos a pasar ahora los puntos a la tercera proyección. Para ello primero colocamos nuestro plano de perfil auxiliar desde el cual trabajar con los puntos.
Comenzamos con A. A esta en el primer cuadrante. La cota siempre se mantiene por lo que trazamos horizontal desde A2. A1 horizontal hasta el plano auxiliar de perfil, y cuando lo toque, lo giramos buscando la cota de A2 obteniendo A3 en su intersección. Recordar que en la tercera proyección veremos a la vez siempre cota y alejamiento.
B sabemos que está en el segundo cuadrante. Mantenemos la cota de B2 mediante horizontal. Desde B1 horizontal hasta el plano de perfil auxiliar, lo giramos para posicionar el punto en el espacio del segundo cuadrante hasta que toque línea de tierra y a continuación lo subimos hasta que corte la horizontal de la cota obteniendo B3.