Intersecciones en diédrico

Introducción 

Mediante una intersección, se haya el lugar geométrico común a dos elementos de diédrico. Tendremos por tanto intersección entre recta y recta, plano y plano y recta y plano.

Intersección entre recta y recta

Antes de comenzar con la intersección de recta y recta, debemos diferenciar cuando dos rectas se cortan y cuando dos rectas se cruzan. Dos rectas se cortarán cuando tienen un punto común a ambas, mientras que cuando dos rectas se cruzan, no tienen ningún punto en común. En diédrico es fácil de diferenciarlas.

En el caso de la izquierda, vemos que donde se cortan sus proyecciones horizontales no coincide con donde se cortan sus proyecciones verticales. Por tanto, podemos decir que las rectas se cortan al no tener ningún punto en común la recta s y r.

En el caso de la derecha, vemos que las proyecciones de la recta coinciden verticalmente en un único punto A, por tanto, podemos decir que las rectas se cortan en el punto A, al ser A un punto común a ambas. Dos rectas se cortan siempre que tengan un punto común a ambas. La intersección de dos rectas por tanto es un punto.

Intersección plano y plano

El elemento común de dos planos cuando se cortan, es una recta. Por tanto, podemos decir que cuando en diédrico tengamos dos planos, la intersección producida por ambos será una recta.

En diédrico será tan fácil como ver donde ser cortan las trazas de ambos planos, donde se corten las trazas horizontales de los planos tendremos la traza horizontal de la recta, y donde se corten las trazas verticales del plano, tendremos la traza vertical de la recta.

Intersección recta y plano

El elemento común entre una recta y un plano cuando se cortan es un punto. En diédrico ,por tanto, cuando seccionamos un plano por una recta se nos generará un punto. En este caso concreto no es tan fácil de resolver como en los anteriores, tendremos que apoyarnos en un plano auxiliar que contenga a la recta, generar intersección de plano y plano y luego de recta y recta tal cual esta interpretado en el esquema siguiente.

En diédrico seguiremos el mismo procedimiento, contendremos a la recta en un plano auxiliar (siempre proyectante por facilitar el ejercicio), haremos la intersección de plano y plano generando otra recta y por ultimo la intersección de la recta enunciado y la generada entre plano y plano nos dará el punto intersección buscado.

Ejercicio resuelto: Buscamos la intersección entre el plano Q y la recta R.

Primero contenemos a R en un plano proyectante auxiliar P (da igual vertical que horizontal). A continuación, buscamos la intersección entre Q y P obteniendo la recta S.

Por ultimo la intersección entre R y S nos generará el punto intersección A entre R y Q.

Casos concretos de intersección

Intersección entre planos que se cortan fuera del margen del folio.

Para resolver este tipo de problemas debemos apoyarnos por planos auxiliares horizontales o frontales que nos irán generando rectas comunes a los dos planos, de estos obtendremos puntos y por último la recta intersección buscada.

Vemos que podemos obtener en este caso la traza horizontal de la recta intersección. Para buscar la vertical necesitamos un punto mínimo. Para ello nos apoyaremos en planos horizontales en este caso, obtendremos dos rectas horizontales que nos darán el punto que buscamos.

De la intersección del plano H con Q y P obtenemos dos rectas horizontales S y T. Ambas rectas se cortan en el punto A. Como conocíamos la traza horizontal de la recta intersección, uniéndola con A obtenemos la proyección horizontal de R. Desde línea de tierra uniendo con A2 obtenemos r2, proyección vertical de la recta que buscamos.

Intersección entre planos paralelos a línea de tierra / rectas de perfil.

Para resolver este tipo de problemas debemos apoyarnos en la tercera proyección. Pasando el enunciado a tercera proyección es fácil de resolver.

Pasamos el plano a tercera proyección y la recta igual. Obtenemos fácilmente el punto A de intersección entre ambos elementos.

Ejercicios de intersección

1. Hallar el punto de intersección i1-i2 del plano Q con la recta R

Solución

Tiraremos de método y contendremos la recta R en un plano proyectante auxiliar, buscaremos la intersección de plano con plano obteniendo una recta y finalmente encontraremos el punto entre recta y recta.  Para este ejercicio no sería necesario todo este proceso, ya que el plano Q es proyectante y todo lo que corte a su traza perpendicular a plano de proyección está contenido sobre este, obteniendo fácilmente la intersección I.