Paralelismo y perpendicularidad

Afelio Navarro
Ingeniero de Edificación
24 de febrero 2025

Introducción

Como elementos principales del dibujo, en este apartado estudiaremos que sucede con la perpendicularidad y el paralelismo entre recta y recta, plano y plano y recta y plano. Para ello veremos de forma pormenorizada que ocurre con cada uno de estos casos.

 

Paralelismo recta y recta

Si dos rectas son paralelas en el espacio, también lo serán sus proyecciones diédricas. Por tanto, si la recta R y S son paralelas, r1 será paralela a s1, r2 a s2, r3 a s3, incluso si las contenemos en un plano y las abatimos, sus abatimientos serán paralelos. Se puede decir por tanto que el paralelismo entre recta y recta se conserva o es directo.

 

Paralelismo y perpendicularidad


 

Paralelismo plano y plano

Al igual que pasa entre recta y recta, entre plano y plano también se conserva el paralelismo, es decir, si un plano es paralelo a otro en el espacio, también lo serán sus trazas. Si el plano Q es paralelo al plano P, Q1 y P1 serán paralelas, Q2 y P2 también, incluso Q3 y P3 si los llevamos a tercera proyección también lo serán. Podemos decir por tanto que el paralelismo entre plano y plano se conserva o es directo.

Paralelismo y perpendicularidad

 

 

Paralelismo recta y plano

Entre recta y plano no sucede lo mismo en paralelismo, si una recta es paralela a un plano, sus proyecciones diédricas no serán paralelas a las trazas del plano. Se debe cumplir pues que para que una recta sea paralela a un plano, el plano debe contener una recta paralela a dicha recta. Para que R sea paralela a Q, el plano Q debe tener una recta paralela a R, en este caso S.

Paralelismo y perpendicularidad

 

 

Perpendicularidad recta y plano

En el caso de la perpendicularidad ocurre lo contrario a los casos de paralelismo. Comenzaremos con la recta y el plano. Si decíamos que el paralelismo entre plano y recta no era directo y no se conservaba, la perpendicularidad en cambio si lo es. Por tanto, podemos decir que, si una recta es perpendicular a un plano en el espacio, también lo serán las proyecciones diédricas de la recta a las trazas del plano.

Si la recta R es perpendicular al plano Q, las proyecciones de R (r1, r2 y r3) serán perpendiculares a las trazas del plano Q (Q1 y Q2).

Paralelismo y perpendicularidad

 

El resto de casos de perpendicularidad (plano y plano, recta y recta) se apoyará en esta propiedad de recta y plano.


 

Perpendicularidad recta y recta

Generalmente si dos rectas son perpendiculares en el espacio, en diédrico las veremos oblicuas a no ser que una de las rectas sea paralela a un plano de proyección (PH,PV,PP) que en dicha proyección si conservará la perpendicularidad.

Para que una recta sea perpendicular a otra recta, una de ellas debe poder contenerse en un plano que sea perpendicular a la otra. Para que la recta R sea perpendicular a la recta S, debemos encontrar un plano que contenga a S y que sea perpendicular a R. 

Paralelismo y perpendicularidad

 

 

Perpendicularidad plano y plano

Un plano será perpendicular a otro siempre que uno de ellos pueda contener una recta perpendicular al otro plano. 

Diremos que el plano Q es perpendicular al P ya que el plano P contiene a una recta R perpendicular al Q.

 

Paralelismo y perpendicularidad


 

 

Ejercicios resueltos paralelismo

1. Trazar un plano paralelo al Q que contenga al punto A:

Paralelismo y perpendicularidad

Solución

Para que el plano que tenemos que trazar contenga a A, tiene que contener a una recta que pase por A. Nos apoyaremos en rectas frontales u horizontales ya que sus proyecciones son paralelas a las trazas del plano, por tanto, si trazo una recta horizontal R, r1 será paralela a la traza del plano P1. Una vez obtenemos la traza de la recta Vr, pasamos por esta la traza del plano P2 paralela a Q2 y en LT P1 paralela a Q1.

Paralelismo y perpendicularidad

 

2. Trazar un plano paralelo Q a una recta r que contenga a la recta s:

Paralelismo y perpendicularidad

Solución

Para generar un plano necesitamos dos rectas que se cortan y necesitamos que además ese plano contenga una recta paralela a R para que el plano en sí también sea paralelo. Trazamos una recta auxiliar arbitraria paralela a R que corte a S en un punto. Buscamos las trazas de ambas rectas que se cortan y al unir Vs con Vt y Hs con Ht obtendremos el plano Q buscado paralelo a R.

Paralelismo y perpendicularidad

 

Ejercicios resueltos perpendicularidad

1. Trazar una recta perpendicular a R que contenga al punto A.

Paralelismo y perpendicularidad

Solución

 

Paralelismo y perpendicularidad

 

Para que una recta sea perpendicular a otra, debe estar contenida en un plano perpendicular a la primera y que además se corten ambas. Comenzaremos trazando el plano Q perpendicular a R que contiene a A, nos apoyamos en un plano P (proyectante) que contiene a R para obtener T que al cortar a R nos dará el punto I intersección de Q y R. Por último, uniendo A e I obtenemos la recta perpendicular a R que pasa por A.

 

Paralelismo y perpendicularidad

 

Una vez tenemos el plano perpendicular a R que contiene a A debemos encontrar la recta que corta a R y está contenida en Q, para ello necesitamos un punto auxiliar de intersección entre ambos elementos. Buscamos la intersección entre Q y R mediante plano proyectante P y recta común de los planos T.

 

Paralelismo y perpendicularidad

 

Por último, la intersección entre T y R nos genera el punto I por el que tiene que pasar la recta perpendicular a R contenida en Q. Uniendo I y A obtenemos M, recta perpendicular a R.

 

Paralelismo y perpendicularidad

 

2. Trazar el plano Q perpendicular a P que contiene a R.

Paralelismo y perpendicularidad

Solución

Para trazar un plano perpendicular a otro, debemos encontrar una recta que sea perpendicular al primer plano. En este caso, para obtener un plano Q perpendicular a P, debemos buscar una recta S que sea perpendicular a P. Con R y S obtendremos Q.

Paralelismo y perpendicularidad

Desde un punto de R arbitrario A, trazamos una recta perpendicular al plano P y buscamos las trazas.

Paralelismo y perpendicularidad

 

Un plano es perpendicular a otro cuando uno de ellos contiene una recta perpendicular al otro. Necesitamos dos rectas que se cortan para obtener un plano. Por tanto, buscamos las trazas de la recta enunciado R y uniendo Vr con Vs y Hr con Hr obtendremos el plano Q perpendicular al P, ya que contiene a S perpendicular a P.

 

Paralelismo y perpendicularidad

 

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