Teoría cuántica de Planck. Efecto fotoeléctrico

La teoría cuántica de Planck sostiene que la energía se intercambia en paquetes discretos llamados cuantos. Einstein aplicó esta idea al efecto fotoeléctrico, explicando cómo la luz libera electrones al actuar como partículas. Bohr, a su vez, usó estos conceptos para describir los espectros atómicos, estableciendo órbitas específicas para los electrones y sentando las bases de la mecánica cuántica.

Teoría cuántica de Planck

Cuando calentamos un metal, sus átomos absorben radiación térmica y, a medida que aumenta la temperatura, emiten radiación electromagnética en diferentes frecuencias. Al principio, si la temperatura es moderada, la radiación emitida es principalmente infrarroja (no visible), por lo que solo notamos el calor. Con temperaturas cada vez mayores, el metal comienza a brillar: primero con un tono rojo oscuro, luego rojo intenso, más tarde anaranjado o amarillo, y finalmente, puede aproximarse al blanco cuando la temperatura es muy elevada.

Este fenómeno de emisión de radiación se estudió con detalle usando como modelo ideal el cuerpo negro, un emisor y absorbedor perfecto de radiación. A partir de los datos experimentales, surgieron dos leyes fundamentales:

• Ley de Stefan-Boltzmann (1884):

Establece que la energía total emitida por el cuerpo negro (por unidad de tiempo y de superficie) es proporcional a la cuarta potencia de su temperatura absoluta:

Esto implica que, al subir la temperatura, la intensidad total de la radiación crece de manera muy rápida.

• Ley de Wien (1896):

Describe cómo, a mayor temperatura, el pico de emisión (la longitud de onda donde la radiación es más intensa) se desplaza hacia valores más cortos, es decir, hacia frecuencias más altas:

Por ello, observamos cómo el color del metal caliente pasa progresivamente de un rojo oscuro al blanco a medida que la temperatura sube.

Estas leyes explican cómo varía el color y la intensidad de la radiación, pero la forma detallada de la curva de emisión en función de la frecuencia o la longitud de onda resultó ser un enigma para la física de finales del siglo XIX. La teoría clásica predecía que la intensidad crecería desmesuradamente en las frecuencias altas (lo que se llamó “catástrofe ultravioleta”), algo que no coincidía con los datos experimentales.

El gran avance se produjo en 1900, cuando el físico alemán Max Planck (1858–1947) propuso una fórmula que describía correctamente el espectro de emisión del cuerpo negro para todas las longitudes de onda. Para lograrlo, introdujo una idea revolucionaria:

“La energía no se intercambia de manera continua entre la radiación y la materia, sino en paquetes discretos o cuantos de energía, proporcionales a la frecuencia de la radiación.”

Matemáticamente, Planck expresó esta relación como:

donde:

• 𝜈 es la frecuencia de la radiación,

• es la longitud de onda de la radiación,

• ℎ es la constante de Planck:

• es la velocidad de la luz en el vacío: .

   

Hoy se considera a ℎ una de las constantes fundamentales de la naturaleza, y su valor tan pequeño explica por qué estos “saltos” energéticos no son perceptibles en el mundo macroscópico. Sin embargo, en el mundo atómico (el mundo cuántico), dichos cuantos de energía son esenciales para entender la emisión y absorción de radiación.

Con esta nueva perspectiva, la llamada “catástrofe ultravioleta”, encontró la solución: la emisión a frecuencias muy altas no crece de forma indefinida, sino que decae rápidamente, coincidiendo con los datos experimentales. Así nació la Teoría Cuántica, sentando las bases para el posterior desarrollo de toda la física cuántica y revolucionando la comprensión de los procesos de emisión y absorción de energía en átomos y moléculas.

En resumen, la genialidad de Planck fue suponer que, en vez de intercambiar energía de manera continua, la materia lo hace en unidades discretas. Este salto conceptual permitió describir de forma exacta el espectro de radiación del cuerpo negro y abrió el camino a una nueva rama de la física, cuyos efectos se hacen palpables cuando se estudian energías muy pequeñas, distancias muy cortas o tiempos extremadamente breves.

Efecto fotoeléctrico

En la última década del siglo XIX, el físico alemán Heinrich Hertz se sorprendió al notar que las chispas generadas en sus experimentos con ondas electromagnéticas aumentaban de intensidad cuando se iluminaban los electrodos con luz ultravioleta. La causa era que la luz de alta frecuencia provocaba la emisión de electrones desde la superficie metálica, un fenómeno que luego se conocería como efecto fotoeléctrico. Otros metales como el zinc, el potasio o el sodio mostraron el mismo comportamiento, es decir, la liberación de electrones al ser iluminados.

Según la teoría electromagnética clásica (donde la luz se describe como una onda), cabía esperar lo siguiente:

• Energía proporcional a la intensidad: si consideramos la luz como una onda, un aumento de la intensidad (es decir, de la amplitud de la onda) debería transferir más energía a los electrones y facilitar su salida del metal.

• Sin frecuencia umbral: cualquier frecuencia de la luz, siempre que fuera suficientemente intensa, acabaría liberando electrones, pues bastaría con aumentar la amplitud de la onda para lograr la energía necesaria.

   

No obstante, los experimentos contradecían claramente estos supuestos:

1. Frecuencia mínima (umbral): cada metal requiere una frecuencia umbral por debajo de la cual no se emiten electrones, por intensa que sea la radiación.

2. Velocidad de los electrones dependiente de la frecuencia: la energía cinética de los electrones emitidos no aumenta al subir la intensidad de la luz, sino que depende exclusivamente de la frecuencia de la radiación.

3. Más intensidad = más electrones (pero no más veloces): cuando la frecuencia de la luz supera la frecuencia umbral, un aumento de la intensidad incrementa el número de electrones emitidos, pero no su energía cinética máxima.

    

Estos hechos eran inexplicables desde la perspectiva estrictamente ondulatoria de la luz.

En 1905, Albert Einstein aportó una explicación novedosa, generalizando la idea introducida por Max Planck para la radiación del cuerpo negro. Einstein propuso que la propia luz está formada por “paquetes” de energía, a los que más tarde se denominó fotones (término acuñado por Gilbert N. Lewis en 1926). Un fotón de frecuencia 𝜈 transporta una energía dada por la expresión de Planck:

donde ℎ es la constante de Planck. La clave radica en que cada electrón absorbe la energía de un fotón completo o no absorbe nada. Al chocar un fotón contra un electrón en la superficie metálica, parte de la energía del fotón se invierte en arrancar al electrón de su ligadura con el metal, y el resto se convierte en energía cinética del electrón liberado.

Para describir el mínimo de energía necesario para arrancar a un electrón de un metal se define la función trabajo, 𝑊 (o trabajo de extracción). Cada metal tiene un valor característico de 𝑊, que se expresa en julios () o en electronvoltios (). Si la energía del fotón, , es menor que 𝑊, no hay suficiente energía para liberar electrones, aunque la luz sea muy intensa. Por eso existe una frecuencia umbral tal que:

Por encima de esa frecuencia, cada fotón dispone de la energía mínima para arrancar un electrón del metal. Cuando esto sucede, el exceso de energía se convierte en energía cinética:

donde 𝜈 es la frecuencia de la radiación incidente (superior a ).

Para cuantificar la energía cinética de los electrones emitidos se emplea un montaje experimental con dos electrodos en una ampolla al vacío, sometidos a una diferencia de potencial 𝑉. Iluminando uno de los electrodos con una luz de frecuencia adecuada, se miden los electrones que llegan al otro electrodo. Para frenar completamente a los electrones, se ajusta el voltaje hasta que la corriente en el amperímetro sea nula. En ese instante, toda la energía cinética máxima de los electrones queda compensada por la energía potencial eléctrica:

donde 𝑒 es la carga del electrón y es el potencial de detención necesario para “parar” a los electrones más rápidos.

La explicación de Einstein no solo resolvió el rompecabezas experimental, sino que sentó uno de los pilares básicos de la física cuántica. Si bien Planck ya había sugerido que los intercambios de energía entre luz y materia eran discretos, Einstein fue un paso más allá al proponer la propia cuantización de la radiación. Su visión rompía de manera radical con la idea de la luz exclusivamente ondulatoria y abrió el camino a la descripción dual onda-partícula de la radiación y de la materia. Por este trabajo, Einstein recibió el Premio Nobel de Física en 1921, consolidando así la importancia y validez de su propuesta.

Espectro de emisión de los gases

Cuando se introduce un gas como hidrógeno o helio en un tubo a baja presión y se somete a un alto voltaje, el gas comienza a emitir luz. Al hacer pasar esa luz a través de un prisma o de una red de difracción, podemos separar sus diferentes colores o longitudes de onda, revelando un espectro de emisión.

A diferencia de un espectro continuo (como el que produciría, por ejemplo, la luz blanca de una bombilla incandescente), los átomos de un gas a baja presión emiten rayas de colores separados por zonas oscuras donde no se registra emisión. Este patrón en líneas y huecos se denomina espectro de líneas, y cada elemento químico presenta un conjunto característico de líneas, lo que permite su identificación incluso a grandes distancias (por ejemplo, en astronomía).

En un principio, se consideró que el proceso de emisión se debía a que los electrones del átomo absorbían energía de la corriente eléctrica y pasaban a órbitas superiores. Después, al “caer” de nuevo a un nivel más bajo, el electrón devolvía esa energía en forma de luz. Sin embargo, si los electrones pudieran ocupar cualquier órbita (tal como sugería la física clásica), el espectro resultante sería continuo. Pero las observaciones muestran lo contrario: solo ciertas frecuencias están presentes, indicando que no todas las órbitas son posibles.

Para explicar la naturaleza discreta de los espectros, en 1913 Niels Bohr formuló un modelo atómico sustentado en tres postulados:

1. Estados estacionarios: El electrón, al girar en determinadas órbitas “permitidas”, no emite energía. Cada órbita estable tiene una energía asociada que aumenta con la distancia al núcleo.

2. Cuantización de las órbitas: Únicamente se permiten aquellas órbitas cuyo número cuántico principal (𝑛) toma valores enteros (1, 2, 3, …). No están permitidos los valores fraccionarios, en clara contraposición con la física clásica.

3. Emisión de radiación en cuantos: Cuando un electrón pasa de una órbita de energía a otra de energía (más baja), el átomo emite el exceso de energía en forma de fotón de frecuencia 𝜈, cumpliendo:

donde es la constante de Planck.

Con estos postulados, Bohr resolvió con éxito el espectro del átomo de hidrógeno, pues obtuvo fórmulas que reproducían las líneas espectrales medidas en el laboratorio.

Aunque el modelo de Bohr funcionaba muy bien para el átomo de hidrógeno, más complejo resultó explicar los espectros de átomos con más electrones. Por ello, en la década de 1920, físicos como Schrödinger, Heisenberg y Dirac desarrollaron la mecánica cuántica, capaz de describir en detalle la estructura y el comportamiento de los átomos, marcando un antes y un después en la historia de la ciencia.

Ejercicios resueltos

1. Una superficie fotoeléctrica tiene una longitud de onda umbral . Se ilumina con luz de . Calcule la energía cinética máxima que adquieren los electrones emitidos.

Solución

La función de trabajo 𝑊 se obtiene a partir de la longitud de onda umbral :

La energía del fotón incidente es:

Según la ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico:

Por lo tanto, la energía cinética máxima que adquieren los electrones emitidos es .

2. Un metal tiene una función de trabajo . Se ilumina con luz de longitud de onda . Determina la velocidad máxima con la que los electrones son emitidos.

Solución

La energía del fotón incidente es:

La energía cinética máxima es:

La energía cinética se calcula como:

Teoría cuántica de Planck. Efecto fotoeléctrico

donde es la masa del electrón. De aquí se sigue que:

Por lo tanto, la velocidad máxima con la que los electrones son emitidos es

3. Un material presenta una longitud de onda umbral . Se ilumina con luz de longitud de onda . Calcula el potencial de frenado necesario para detener los electrones más rápidos que salen del metal.

Solución

La función de trabajo 𝑊 se obtiene a partir de la longitud de onda umbral :

La energía del fotón incidente es:

Según la ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico:

Para detener a los electrones más rápidos, la energía cinética máxima se convierte en energía potencial eléctrica:

donde es la carga elemental. Se tiene que

Por lo tanto, el potencial de frenado necesario para detener los electrones más rápidos que salen del metal es .