Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

Ángel Álvarez
Físico
15 de febrero 2025

La masa relativista crece con la velocidad, lo que impide que un objeto con masa alcance la velocidad de la luz. La energía en reposo demuestra que la masa es una forma de energía, incluso cuando el objeto está inmóvil. La suma relativista de velocidades asegura que ninguna combinación de movimientos supere la velocidad de la luz.

 

Masa relativista

La noción de masa relativista surge al estudiar objetos que se mueven a velocidades cercanas a la de la luz, 𝑐. En la física clásica newtoniana, la masa de un cuerpo se considera constante, independientemente de la velocidad. Sin embargo, desde la perspectiva de la teoría de la relatividad especial propuesta por Albert Einstein, la masa medida por un observador puede depender de la velocidad del objeto.

La masa relativista se define a partir de la masa en reposo Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades mediante el factor relativista 𝛾, también conocido como factor de Lorentz. El factor 𝛾 depende de la velocidad 𝑣 y se expresa como:

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

Entonces, la masa relativista 𝑚 se formula como:

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

En consecuencia, a medida que 𝑣 se acerca a 𝑐, el denominador Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades  se hace cada vez más pequeño, y por tanto la masa relativista 𝑚 aumenta considerablemente.

 

Energía en reposo

La energía en reposo de un cuerpo es la energía intrínseca asociada a su masa en reposo Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades. Este concepto se desprende directamente de la famosa ecuación de Albert Einstein:

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

donde:

  • Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades es la energía en reposo,

  • Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades es la masa en reposo del objeto,

  • Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades es la velocidad de la luz en el vacío:

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

Esta ecuación revolucionó nuestra comprensión de la física al establecer que la masa es una forma de energía. En otras palabras, incluso cuando un objeto no se está moviendo (es decir, está en reposo respecto de un observador), todavía posee una gran cantidad de energía almacenada en su masa. La energía en reposo representa el contenido “básico” de energía de un cuerpo, correspondiente únicamente a su masa en reposo.

 

Energía cinética

En el marco de la relatividad especial, la energía cinética relativista de un cuerpo se define como la diferencia entre su energía total y su energía en reposo. Recordemos que la energía total de un objeto de masa en reposo que se mueve a velocidad 𝑣 es:

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

Por otro lado, la energía en reposo del objeto es:

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

Por lo tanto, la energía cinética relativista Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades se calcula como:

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

Si en lugar de Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades se utiliza la llamada “masa relativista”:

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

también se puede escribir de manera equivalente:

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

Reemplazando el factor 𝛾 en la primera expresión, obtenemos una forma muy utilizada para la energía cinética relativista:

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

Nótese que en el límite de velocidades muy bajas (Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades), el término Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades es extremadamente pequeño. Bajo este límite clásico, la energía cinética relativista se reduce a la forma newtoniana:

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

que es la ecuación de energía cinética que conocemos de la mecánica clásica.

En cambio, cuando 𝑣 se acerca a 𝑐, el factor 𝛾 crece sin límite, haciendo que la energía cinética se incremente de forma muy pronunciada, lo que refleja el hecho de que, de acuerdo con la relatividad especial, ningún cuerpo con masa en reposo puede alcanzar la velocidad de la luz (pues requeriría una energía infinita).

 

Suma relativista de velocidades

En la teoría de la relatividad especial, la forma clásica de sumar velocidades (simplemente Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades) ya no es válida cuando los objetos se mueven a velocidades comparables a la velocidad de la luz. Einstein propuso una nueva forma de adición relativista de velocidades que asegura, entre otras cosas, que ningún objeto con masa pueda superar la velocidad de la luz.

En el caso unidimensional (sobre un mismo eje), si un observador se mueve a velocidad 𝑣 respecto de un marco de referencia, y en ese marco un objeto se desplaza con velocidad , la velocidad del objeto medida por otro observador en reposo en el segundo marco (que se mueve con velocidad 𝑣) viene dada por:

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

donde:

  • Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades es la velocidad del objeto en el marco de referencia inicial (por ejemplo, “laboratorio”),

  • Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades es la velocidad relativa entre los dos marcos de referencia,

  • Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades es la velocidad del mismo objeto, pero medida desde el marco que se mueve a velocidad 𝑣 respecto del inicial,

  • 𝑐 es la velocidad de la luz en el vacío.

Esta fórmula se puede extender a múltiples dimensiones (componentes de la velocidad en direcciones perpendiculares), pero la esencia se mantiene: no podemos sumar velocidades relativistas simplemente con la suma algebraica tradicional. En las siguientes secciones, esta relación se conectará con otras consecuencias de la relatividad, como el incremento de la energía cinética a medida que un objeto se acerca a la velocidad de la luz.

Para velocidades cercanas a 𝑐, la corrección relativista cobra relevancia. El denominador siempre asegura que el resultado sea menor que 𝑐; esto refleja la imposibilidad de que la velocidad resultante supere la de la luz, un principio fundamental de la relatividad especial. Por el contrario, cuando Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades, el factor Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades se vuelve muy pequeño, y la expresión se reduce aproximadamente a la suma newtoniana:

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

 

Ejercicios resueltos

1. Un electrón (cuya masa en reposo es Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades) se mueve a una velocidad de Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades. Calcula su masa relativista.

Solución

Calculamos el factor de Lorenz :

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

Sabemos que

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

Entonces,

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

La masa relativista 𝑚 se calcula como:

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

Por lo tanto, la masa relativista del electrón es Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

2. Un protón tiene una masa en reposo de Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades. Si viaja a una velocidad de Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades, calcula su energía cinética relativista.

Solución

Sabemos que la energía en reposo viene dada por

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

La velocidad del protón es:

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

Calculamos el factor de Lorenz Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades:

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

Sabemos que

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

Entonces,

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

Luego, la energía cinética relativista viene dada por:

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

Por lo tanto, la energía cinética relativista del protón es Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades.

3. Un cohete se desplaza a Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades respecto de la Tierra. Desde el cohete, se lanza un objeto hacia adelante a una velocidad de Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades relativa al cohete. ¿Cuál será la velocidad del objeto medida desde la Tierra?

Solución

Del enunciado de deduce:

  • Velocidad del cohete respecto de la Tierra: Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades,

  • Velocidad del objeto respecto del cohete: Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades.

Aplicamos la fórmula de adición relativista de velocidades (unidimensional):

Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

Por lo tanto, la velocidad del objeto vista desde la Tierra es aproximadamente Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades.

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