Energía y masa relativista. Suma relativista de velocidades

La masa relativista crece con la velocidad, lo que impide que un objeto con masa alcance la velocidad de la luz. La energía en reposo demuestra que la masa es una forma de energía, incluso cuando el objeto está inmóvil. La suma relativista de velocidades asegura que ninguna combinación de movimientos supere la velocidad de la luz.

Masa relativista

La noción de masa relativista surge al estudiar objetos que se mueven a velocidades cercanas a la de la luz, 𝑐. En la física clásica newtoniana, la masa de un cuerpo se considera constante, independientemente de la velocidad. Sin embargo, desde la perspectiva de la teoría de la relatividad especial propuesta por Albert Einstein, la masa medida por un observador puede depender de la velocidad del objeto.

La masa relativista se define a partir de la masa en reposo mediante el factor relativista 𝛾, también conocido como factor de Lorentz. El factor 𝛾 depende de la velocidad 𝑣 y se expresa como:

Entonces, la masa relativista 𝑚 se formula como:

En consecuencia, a medida que 𝑣 se acerca a 𝑐, el denominador  se hace cada vez más pequeño, y por tanto la masa relativista 𝑚 aumenta considerablemente.

Energía en reposo

La energía en reposo de un cuerpo es la energía intrínseca asociada a su masa en reposo . Este concepto se desprende directamente de la famosa ecuación de Albert Einstein:

donde:

• es la energía en reposo,

• es la masa en reposo del objeto,

• es la velocidad de la luz en el vacío:

Esta ecuación revolucionó nuestra comprensión de la física al establecer que la masa es una forma de energía. En otras palabras, incluso cuando un objeto no se está moviendo (es decir, está en reposo respecto de un observador), todavía posee una gran cantidad de energía almacenada en su masa. La energía en reposo representa el contenido “básico” de energía de un cuerpo, correspondiente únicamente a su masa en reposo.

Energía cinética

En el marco de la relatividad especial, la energía cinética relativista de un cuerpo se define como la diferencia entre su energía total y su energía en reposo. Recordemos que la energía total de un objeto de masa en reposo que se mueve a velocidad 𝑣 es:

Por otro lado, la energía en reposo del objeto es:

Por lo tanto, la energía cinética relativista se calcula como:

Si en lugar de se utiliza la llamada “masa relativista”:

también se puede escribir de manera equivalente:

Reemplazando el factor 𝛾 en la primera expresión, obtenemos una forma muy utilizada para la energía cinética relativista:

Nótese que en el límite de velocidades muy bajas (), el término es extremadamente pequeño. Bajo este límite clásico, la energía cinética relativista se reduce a la forma newtoniana:

que es la ecuación de energía cinética que conocemos de la mecánica clásica.

En cambio, cuando 𝑣 se acerca a 𝑐, el factor 𝛾 crece sin límite, haciendo que la energía cinética se incremente de forma muy pronunciada, lo que refleja el hecho de que, de acuerdo con la relatividad especial, ningún cuerpo con masa en reposo puede alcanzar la velocidad de la luz (pues requeriría una energía infinita).

Suma relativista de velocidades

En la teoría de la relatividad especial, la forma clásica de sumar velocidades (simplemente ) ya no es válida cuando los objetos se mueven a velocidades comparables a la velocidad de la luz. Einstein propuso una nueva forma de adición relativista de velocidades que asegura, entre otras cosas, que ningún objeto con masa pueda superar la velocidad de la luz.

En el caso unidimensional (sobre un mismo eje), si un observador se mueve a velocidad 𝑣 respecto de un marco de referencia, y en ese marco un objeto se desplaza con velocidad , la velocidad del objeto medida por otro observador en reposo en el segundo marco (que se mueve con velocidad 𝑣) viene dada por:

donde:

• es la velocidad del objeto en el marco de referencia inicial (por ejemplo, “laboratorio”),

• es la velocidad relativa entre los dos marcos de referencia,

• es la velocidad del mismo objeto, pero medida desde el marco que se mueve a velocidad 𝑣 respecto del inicial,

• 𝑐 es la velocidad de la luz en el vacío.

Esta fórmula se puede extender a múltiples dimensiones (componentes de la velocidad en direcciones perpendiculares), pero la esencia se mantiene: no podemos sumar velocidades relativistas simplemente con la suma algebraica tradicional. En las siguientes secciones, esta relación se conectará con otras consecuencias de la relatividad, como el incremento de la energía cinética a medida que un objeto se acerca a la velocidad de la luz.

Para velocidades cercanas a 𝑐, la corrección relativista cobra relevancia. El denominador siempre asegura que el resultado sea menor que 𝑐; esto refleja la imposibilidad de que la velocidad resultante supere la de la luz, un principio fundamental de la relatividad especial. Por el contrario, cuando , el factor se vuelve muy pequeño, y la expresión se reduce aproximadamente a la suma newtoniana:

Ejercicios resueltos

1. Un electrón (cuya masa en reposo es ) se mueve a una velocidad de . Calcula su masa relativista.

Solución

Calculamos el factor de Lorenz :

Sabemos que

Entonces,

La masa relativista 𝑚 se calcula como:

Por lo tanto, la masa relativista del electrón es

2. Un protón tiene una masa en reposo de . Si viaja a una velocidad de , calcula su energía cinética relativista.

Solución

Sabemos que la energía en reposo viene dada por

La velocidad del protón es:

Calculamos el factor de Lorenz :

Sabemos que

Entonces,

Luego, la energía cinética relativista viene dada por:

Por lo tanto, la energía cinética relativista del protón es .

3. Un cohete se desplaza a respecto de la Tierra. Desde el cohete, se lanza un objeto hacia adelante a una velocidad de relativa al cohete. ¿Cuál será la velocidad del objeto medida desde la Tierra?

Solución

Del enunciado de deduce:

Velocidad del cohete respecto de la Tierra: ,

Velocidad del objeto respecto del cohete: .

Aplicamos la fórmula de adición relativista de velocidades (unidimensional):

Por lo tanto, la velocidad del objeto vista desde la Tierra es aproximadamente .