Ejercicio resuelto: Múltiples fuentes sonoras

Enunciado

Dos focos sonoros puntuales y están situados en las posiciones y del plano . Cuando emiten por separado, el nivel de intensidad sonora debido al foco 1 a una distancia de 2m de este es , mientras que el nivel de intensidad sonora debido al foco 2 es a 2m de este. Halle:

a) La intensidad y el nivel de intensidad sonora en el origen cuando ambos focos emiten simultáneamente.

b) La distancia al foco del punto situado sobre el segmento que une ambos focos en el que las intensidades generadas por ambos focos son iguales.

Dato: Intensidad umbral, .

Solución

Comenzamos representando la situación descrita por el enunciado:

a) La intensidad y el nivel de intensidad sonora en el origen cuando ambos focos emiten simultáneamente.

Comenzamos determinando la potencia de cada uno de los focos sonoros. Para ello, calculamos la intensidad en una distancia de 2m para ambos focos:

Para el foco 1:

Para el foco 2:

Con estas intensidades, podemos calcular la potencia de cada uno de los focos:

Sustituyendo los valores:

A continuación, calculamos las intensidades de los focos en el origen. Para el foco 1, ubicado a 3m del origen:

Para el foco 2, situado a 4m:

La intensidad total en el origen será la suma de ambas:

Finalmente, el nivel de intensidad sonora combinado se calcula como:

Por lo tanto, en el origen, la intensidad es y el nivel de intensidad sonora es .

b) La distancia al foco del punto situado sobre el segmento que une ambos focos en el que las intensidades generadas por ambos focos son iguales.

Comenzamos este apartado añadiendo el segmento descrito por el enunciado al dibujo anterior:

Para encontrar el punto donde las intensidades de los focos son iguales, supongamos que el punto se encuentra a una distancia x del foco y a del foco , donde d se obtiene usando el Teorema de Pitágoras:

Igualamos las intensidades:

Simplificando:

Resolviendo la ecuación cuadrática completa:

Dado que buscamos el punto en el segmento que une los focos, la única solución válida es la positiva (estamos trabajando en el primer cuadrante). Así, la distancia desde el foco es:

Por lo tanto, la distancia al foco del punto situado sobre el segmento que une ambos focos en el que las intensidades generadas por ambos focos son iguales es .