Ecuación y energía de una onda armónica

Una onda armónica es una perturbación que se propaga, donde cada punto oscila periódicamente. La velocidad y aceleración de cada punto varían según un movimiento armónico simple. Asimismo, la energía es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud y la frecuencia.

Ecuación de una onda

Dentro de los diversos tipos de movimientos ondulatorios, el movimiento ondulatorio armónico ocupa un lugar de especial relevancia. Este tipo de onda se caracteriza porque induce en los puntos del medio un movimiento oscilatorio armónico simple (MAS). En otras palabras, cada punto del medio oscila de manera periódica alrededor de una posición de equilibrio, sin desplazarse permanentemente en el espacio.

Una onda armónica puede describirse matemáticamente mediante la siguiente ecuación:

donde:

• es la elongación de la onda en función de la posición 𝑥 y del tiempo 𝑡,
• es la amplitud de la onda, que representa la máxima desviación del punto perturbado respecto a su posición de equilibrio.
• 𝑘 es el número de onda, definido como , siendo 𝜆 la longitud de onda,
• 𝜔 es la frecuencia angular, relacionada con la frecuencia 𝑓 mediante ,
• es la fase inicial, que determina el desplazamiento de la onda en el tiempo o en el espacio al instante .

En cuanto al signo , cabe mencionar que utilizaremos el negativo () cuando la onda se propague hacia la derecha y el positivo () cuando lo haga hacia la izquierda.

La ecuación de una onda armónica muestra una doble periodicidad, ya que depende de dos variables: tiempo (𝑡) y posición (𝑥). Esto significa que la elongación 𝑦 en un punto específico del medio varía no solo con el tiempo, sino también con la distancia de ese punto al origen de la onda:

• Dependencia temporal: Para un punto fijo en el espacio (𝑥 constante), la elongación 𝑦 oscila de manera periódica con el tiempo, siguiendo un movimiento armónico simple.

• Dependencia espacial: Para un instante fijo en el tiempo (𝑡 constante), la elongación 𝑦 varía periódicamente con la posición 𝑥, reflejando la naturaleza ondulatoria de la propagación.

Velocidad y aceleración de una onda

La velocidad de un punto en una onda se obtiene tomando la derivada parcial de la ecuación de la onda con respecto al tiempo. Dado que la elongación 𝑦 de un punto en la onda depende tanto de la posición 𝑥 como del tiempo 𝑡, utilizamos derivadas parciales para describir su cambio.

Consideremos una onda armónica que se desplaza hacia la derecha, cuya ecuación está dada por:

Para encontrar la velocidad 𝑣 de un punto en la onda, derivamos respecto al tiempo :

La aceleración𝑎 de un punto en la onda se obtiene derivando la velocidad respecto al tiempo 𝑡:

Observamos que la aceleración está directamente relacionada con la elongación de la onda, siguiendo la relación:

Las expresiones obtenidas para la velocidad y la aceleración confirman que cada punto de la onda experimenta un Movimiento Armónico Simple. Es decir, la trayectoria de cada punto en el eje 𝑦 sigue una oscilación periódica que depende tanto del tiempo como de la posición en el medio. Esta oscilación es responsable de la transferencia de energía a lo largo de la onda sin que haya un desplazamiento neto de materia.

Para hacer la gráfica anterior se tomaron los valores , , y en las ecuaciones descritas anteriormente.

Si la onda se desplaza hacia la izquierda, las ecuaciones de elongación, velocidad y aceleración serían:

En este caso, la relación entre elongación y aceleración es igual:

Cálculo de la fase inicial

Para calcular la fase inicial , hacemos uso de las ecuaciones que nos dan la elongación y la velocidad de la onda. Supongamos que la onda se desplaza hacia la derecha:

En el instante inicial y para , tendremos:

Dependiendo de los datos proporcionados en el enunciado del problema siempre podremos obtener la fase inicial de una de las dos ecuaciones deducidas.

Si la ecuación se propaga hacia la izquierda, se tiene que

y entonces:

Cuando la fase inicial sea , dado que , podremos reescribir la ecuación de la elongación de una onda como:

Cuando la fase inicial sea , dado que , podremos reescribir la ecuación de la elongación de una onda como:

Puntos en fase

Dos puntos de una onda oscilan en fase cuando se encuentran en un idéntico estado de movimiento en un instante dado. Por ejemplo, si en un momento específico ambos puntos están en una cresta de la onda, se dice que están en fase.

Para que dos puntos oscilantes estén en fase, deben estar separados por una distancia igual a un número entero de longitudes de onda. Matemáticamente, si consideramos una longitud de onda 𝜆, entonces la separación entre dos puntos en fase debe satisfacer la siguiente condición:

Aquí, 𝑛 representa un número entero que indica cuántas longitudes de onda completas separan a los dos puntos. Esta condición garantiza que ambos puntos alcancen sus estados máximos y mínimos simultáneamente, manteniendo así su sincronización en el movimiento.

Además de los puntos en fase, existe el concepto de puntos en oposición. Dos puntos se encuentran en oposición cuando sus estados de movimiento son opuestos. Es decir, mientras uno de los puntos está en una cresta, el otro está en un valle. En este caso, sus velocidades son iguales en magnitud, pero contrarias en dirección.

La condición para que dos puntos estén en oposición está dada por:

Esto implica que la separación entre los puntos es un número impar de semilongitudes de onda. Bajo esta condición, los puntos siempre estarán en estados opuestos de la oscilación, asegurando que cuando uno está en una cresta, el otro esté en un valle, y viceversa.

El desfase () entre dos puntos de una onda depende de la distancia que los separa. Se puede calcular restando las fases (ángulos) de las ecuaciones de onda correspondientes a cada punto. Consideremos dos puntos situados a distancias y del origen en un instante dado 𝑡. Las elongaciones de estos puntos están dadas por:

La diferencia de fase entre los dos puntos es:

donde es la separación entre los dos puntos. Dependiendo del valor de , podemos determinar si los puntos están en fase, en oposición o en una fase intermedia:

• En fase: si , entonces . Como los puntos están en fase.

   

• En oposición: si , entonces . Como los puntos están en oposición.

Energía de una onda

Una de las características más sobresalientes (y útiles) del movimiento ondulatorio es que las ondas transportan energía de un punto a otro sin que exista transporte de masa. En el caso de ondas armónicas, los puntos del medio oscilan de manera periódica, y la energía total de la onda es la suma de la energía cinética y la energía potencial de estos puntos:

A partir de esta base, se puede establecer una relación entre la energía que una onda transfiere a los puntos del medio y sus parámetros característicos, tales como la frecuencia (𝑓) y la amplitud (𝐴):

Esto significa que la energía transferida por una onda a un punto del medio depende del cuadrado de su amplitud y del cuadrado de su frecuencia. En términos más precisos, para una onda armónica, la energía total es proporcional a estas magnitudes:

donde es la masa efectiva del punto del medio.

Ejercicios resueltos

1. Una onda armónica transversal que se propaga en una cuerda viene dada (en unidades del S.I.) por

Calcula su velocidad de propagación y la velocidad máxima de cualquier partícula de la cuerda.

Solución

Comparamos la ecuación dada con la ecuación general de una onda armónica que se propaga hacia la derecha:

Se obtiene que:

,

Calculamos la longitud de onda y el periodo:

La velocidad de propagación viene dada por:

Obtenemos a continuación la ecuación de la velocidad de un punto de la cuerda:

Como , la velocidad máxima en valor absoluto es:

Por lo tanto, velocidad de propagación es y la velocidad máxima de cualquier partícula de la cuerda es .

2. La ecuación de una onda es   Determina el desfase entre dos puntos situados a de distancia, a y a

Solución

Comparamos la ecuación dada con la ecuación general de una onda armónica que se propaga hacia la derecha:

Se obtiene que:

,

La longitud de onda viene dada por:

Esto quiere decir que los puntos situados a una distancia de , con van a estar en fase, por lo que dos puntos situados a 8 metros de distancia estarán en fase:

Para los puntos separados por , es fácil comprobar que:

es decir, están separados por 5 semilongitudes de onda y, entonces, están en oposición.

Por un razonamiento similar al anterior se puede deducir que los puntos separados por no están ni en fase ni en oposición. El desfase para este caso es:

 

3. Una onda armónica se propaga por una cuerda en sentido positivo del eje con una velocidad de . Su frecuencia es de , su amplitud y su fase inicial nula. Escribe la ecuación de la onda y determina las ecuaciones de velocidad de vibración de una partícula de la cuerda, así como su aceleración.

Solución

Sabemos que la ecuación de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje es:

Del enunciado se deduce que:

,

,

Calculamos la longitud de onda:

Obtenemos el número de onda:

La frecuencia angular viene dada por:

Entonces, la ecuación de la elongación de la onda es:

Computamos la velocidad y aceleración: