Ecuación y energía de una onda armónica

Ángel Álvarez
Físico
14 de febrero 2025

Una onda armónica es una perturbación que se propaga, donde cada punto oscila periódicamente. La velocidad y aceleración de cada punto varían según un movimiento armónico simple. Asimismo, la energía es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud y la frecuencia.

 

Ecuación de una onda

Dentro de los diversos tipos de movimientos ondulatorios, el movimiento ondulatorio armónico ocupa un lugar de especial relevancia. Este tipo de onda se caracteriza porque induce en los puntos del medio un movimiento oscilatorio armónico simple (MAS). En otras palabras, cada punto del medio oscila de manera periódica alrededor de una posición de equilibrio, sin desplazarse permanentemente en el espacio.

Una onda armónica puede describirse matemáticamente mediante la siguiente ecuación:

Ecuación y energía de una onda armónica

donde:

  • Ecuación y energía de una onda armónica es la elongación de la onda en función de la posición 𝑥 y del tiempo 𝑡,
  • Ecuación y energía de una onda armónica es la amplitud de la onda, que representa la máxima desviación del punto perturbado respecto a su posición de equilibrio.
  • 𝑘 es el número de onda, definido como Ecuación y energía de una onda armónica, siendo 𝜆 la longitud de onda,
  • 𝜔 es la frecuencia angular, relacionada con la frecuencia 𝑓 mediante Ecuación y energía de una onda armónica,
  • Ecuación y energía de una onda armónica es la fase inicial, que determina el desplazamiento de la onda en el tiempo o en el espacio al instante Ecuación y energía de una onda armónica.

En cuanto al signo , cabe mencionar que utilizaremos el negativo () cuando la onda se propague hacia la derecha y el positivo () cuando lo haga hacia la izquierda.

 

La ecuación de una onda armónica muestra una doble periodicidad, ya que depende de dos variables: tiempo (𝑡) y posición (𝑥). Esto significa que la elongación 𝑦 en un punto específico del medio varía no solo con el tiempo, sino también con la distancia de ese punto al origen de la onda:

 

  • Dependencia temporal: Para un punto fijo en el espacio (𝑥 constante), la elongación 𝑦 oscila de manera periódica con el tiempo, siguiendo un movimiento armónico simple.
Ecuación y energía de una onda armónica
  • Dependencia espacial: Para un instante fijo en el tiempo (𝑡 constante), la elongación 𝑦 varía periódicamente con la posición 𝑥, reflejando la naturaleza ondulatoria de la propagación.
Ecuación y energía de una onda armónica

 

Velocidad y aceleración de una onda

La velocidad de un punto en una onda se obtiene tomando la derivada parcial de la ecuación de la onda con respecto al tiempo. Dado que la elongación 𝑦 de un punto en la onda depende tanto de la posición 𝑥 como del tiempo 𝑡, utilizamos derivadas parciales para describir su cambio.

Consideremos una onda armónica que se desplaza hacia la derecha, cuya ecuación está dada por:

Ecuación y energía de una onda armónica

Para encontrar la velocidad 𝑣 de un punto en la onda, derivamos Ecuación y energía de una onda armónica respecto al tiempo :

Ecuación y energía de una onda armónica

La aceleración𝑎 de un punto en la onda se obtiene derivando la velocidad respecto al tiempo 𝑡:

Ecuación y energía de una onda armónica

Observamos que la aceleración está directamente relacionada con la elongación de la onda, siguiendo la relación:

Ecuación y energía de una onda armónica

Las expresiones obtenidas para la velocidad y la aceleración confirman que cada punto de la onda experimenta un Movimiento Armónico Simple. Es decir, la trayectoria de cada punto en el eje 𝑦 sigue una oscilación periódica que depende tanto del tiempo como de la posición en el medio. Esta oscilación es responsable de la transferencia de energía a lo largo de la onda sin que haya un desplazamiento neto de materia.

Ecuación y energía de una onda armónica

Para hacer la gráfica anterior se tomaron los valores Ecuación y energía de una onda armónica, Ecuación y energía de una onda armónica, Ecuación y energía de una onda armónica y Ecuación y energía de una onda armónica en las ecuaciones descritas anteriormente.

 

Si la onda se desplaza hacia la izquierda, las ecuaciones de elongación, velocidad y aceleración serían:

Ecuación y energía de una onda armónica
Ecuación y energía de una onda armónica
Ecuación y energía de una onda armónica

En este caso, la relación entre elongación y aceleración es igual:

Ecuación y energía de una onda armónica

 

Cálculo de la fase inicial

Para calcular la fase inicial Ecuación y energía de una onda armónica, hacemos uso de las ecuaciones que nos dan la elongación y la velocidad de la onda. Supongamos que la onda se desplaza hacia la derecha:

Ecuación y energía de una onda armónica
Ecuación y energía de una onda armónica

En el instante inicial Ecuación y energía de una onda armónica y para Ecuación y energía de una onda armónica, tendremos:

Ecuación y energía de una onda armónica
Ecuación y energía de una onda armónica

Dependiendo de los datos proporcionados en el enunciado del problema siempre podremos obtener la fase inicial Ecuación y energía de una onda armónica de una de las dos ecuaciones deducidas.

 

Si la ecuación se propaga hacia la izquierda, se tiene que

Ecuación y energía de una onda armónica
Ecuación y energía de una onda armónica

y entonces:

Ecuación y energía de una onda armónica
Ecuación y energía de una onda armónica

Cuando la fase inicial sea Ecuación y energía de una onda armónica, dado que Ecuación y energía de una onda armónica, podremos reescribir la ecuación de la elongación de una onda como:

Ecuación y energía de una onda armónica

Cuando la fase inicial sea Ecuación y energía de una onda armónica, dado que Ecuación y energía de una onda armónica, podremos reescribir la ecuación de la elongación de una onda como:

Ecuación y energía de una onda armónica

 

Puntos en fase

Dos puntos de una onda oscilan en fase cuando se encuentran en un idéntico estado de movimiento en un instante dado. Por ejemplo, si en un momento específico ambos puntos están en una cresta de la onda, se dice que están en fase.

 

Para que dos puntos oscilantes estén en fase, deben estar separados por una distancia igual a un número entero de longitudes de onda. Matemáticamente, si consideramos una longitud de onda 𝜆, entonces la separación entre dos puntos en fase debe satisfacer la siguiente condición:

Ecuación y energía de una onda armónica

Aquí, 𝑛 representa un número entero que indica cuántas longitudes de onda completas separan a los dos puntos. Esta condición garantiza que ambos puntos alcancen sus estados máximos y mínimos simultáneamente, manteniendo así su sincronización en el movimiento.

Ecuación y energía de una onda armónica

Además de los puntos en fase, existe el concepto de puntos en oposición. Dos puntos se encuentran en oposición cuando sus estados de movimiento son opuestos. Es decir, mientras uno de los puntos está en una cresta, el otro está en un valle. En este caso, sus velocidades son iguales en magnitud, pero contrarias en dirección.

La condición para que dos puntos estén en oposición está dada por:

Ecuación y energía de una onda armónica

Esto implica que la separación entre los puntos es un número impar de semilongitudes de onda. Bajo esta condición, los puntos siempre estarán en estados opuestos de la oscilación, asegurando que cuando uno está en una cresta, el otro esté en un valle, y viceversa.

Ecuación y energía de una onda armónica

El desfase () entre dos puntos de una onda depende de la distancia que los separa. Se puede calcular restando las fases (ángulos) de las ecuaciones de onda correspondientes a cada punto. Consideremos dos puntos situados a distancias y del origen en un instante dado 𝑡. Las elongaciones de estos puntos están dadas por:

Ecuación y energía de una onda armónica
Ecuación y energía de una onda armónica

La diferencia de fase entre los dos puntos es:

Ecuación y energía de una onda armónica

donde Ecuación y energía de una onda armónica es la separación entre los dos puntos. Dependiendo del valor de Ecuación y energía de una onda armónica, podemos determinar si los puntos están en fase, en oposición o en una fase intermedia:

 

  • En fase: si Ecuación y energía de una onda armónica, entonces Ecuación y energía de una onda armónica. Como Ecuación y energía de una onda armónica los puntos están en fase.

     

  • En oposición: si Ecuación y energía de una onda armónica, entonces Ecuación y energía de una onda armónica. Como los puntos están en oposición.

 

Energía de una onda

Una de las características más sobresalientes (y útiles) del movimiento ondulatorio es que las ondas transportan energía de un punto a otro sin que exista transporte de masa. En el caso de ondas armónicas, los puntos del medio oscilan de manera periódica, y la energía total de la onda es la suma de la energía cinética y la energía potencial de estos puntos:

Ecuación y energía de una onda armónica

A partir de esta base, se puede establecer una relación entre la energía que una onda transfiere a los puntos del medio y sus parámetros característicos, tales como la frecuencia (𝑓) y la amplitud (𝐴):

Ecuación y energía de una onda armónica

Esto significa que la energía transferida por una onda a un punto del medio depende del cuadrado de su amplitud y del cuadrado de su frecuencia. En términos más precisos, para una onda armónica, la energía total es proporcional a estas magnitudes:

Ecuación y energía de una onda armónica

donde Ecuación y energía de una onda armónica es la masa efectiva del punto del medio.

 

Ejercicios resueltos

1. Una onda armónica transversal que se propaga en una cuerda viene dada (en unidades del S.I.) por Ecuación y energía de una onda armónica

Calcula su velocidad de propagación y la velocidad máxima de cualquier partícula de la cuerda.

Solución

Comparamos la ecuación dada con la ecuación general de una onda armónica que se propaga hacia la derecha:

Ecuación y energía de una onda armónica

Se obtiene que:

  • Ecuación y energía de una onda armónica,

  • Ecuación y energía de una onda armónica

  • Ecuación y energía de una onda armónica

Calculamos la longitud de onda y el periodo:

Ecuación y energía de una onda armónica
Ecuación y energía de una onda armónica

La velocidad de propagación viene dada por:

Ecuación y energía de una onda armónica

Obtenemos a continuación la ecuación de la velocidad de un punto de la cuerda:

Ecuación y energía de una onda armónica

Como Ecuación y energía de una onda armónica, la velocidad máxima en valor absoluto es:

Ecuación y energía de una onda armónica

Por lo tanto, velocidad de propagación es Ecuación y energía de una onda armónica y la velocidad máxima de cualquier partícula de la cuerda es Ecuación y energía de una onda armónica.

2. La ecuación de una onda es  Ecuación y energía de una onda armónica Determina el desfase entre dos puntos situados a Ecuación y energía de una onda armónica de distancia, a Ecuación y energía de una onda armónica y a Ecuación y energía de una onda armónica

Solución

Comparamos la ecuación dada con la ecuación general de una onda armónica que se propaga hacia la derecha:

Ecuación y energía de una onda armónica

Se obtiene que:

  • Ecuación y energía de una onda armónica,

  • Ecuación y energía de una onda armónica

  • Ecuación y energía de una onda armónica

La longitud de onda viene dada por:

Ecuación y energía de una onda armónica

Esto quiere decir que los puntos situados a una distancia de Ecuación y energía de una onda armónica, con Ecuación y energía de una onda armónica van a estar en fase, por lo que dos puntos situados a 8 metros de distancia estarán en fase:

Ecuación y energía de una onda armónica

Para los puntos separados por Ecuación y energía de una onda armónica, es fácil comprobar que:

Ecuación y energía de una onda armónica

es decir, están separados por 5 semilongitudes de onda y, entonces, están en oposición.

Por un razonamiento similar al anterior se puede deducir que los puntos separados por Ecuación y energía de una onda armónica no están ni en fase ni en oposición. El desfase para este caso es:

Ecuación y energía de una onda armónica

 

3. Una onda armónica se propaga por una cuerda en sentido positivo del eje Ecuación y energía de una onda armónica con una velocidad de Ecuación y energía de una onda armónica. Su frecuencia es de Ecuación y energía de una onda armónica, su amplitud Ecuación y energía de una onda armónica y su fase inicial nula. Escribe la ecuación de la onda y determina las ecuaciones de velocidad de vibración de una partícula de la cuerda, así como su aceleración.

Solución

Sabemos que la ecuación de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje Ecuación y energía de una onda armónica es:

Ecuación y energía de una onda armónica

Del enunciado se deduce que:

  • Ecuación y energía de una onda armónica

  • Ecuación y energía de una onda armónica,

  • Ecuación y energía de una onda armónica,

  • Ecuación y energía de una onda armónica

Calculamos la longitud de onda:

Ecuación y energía de una onda armónica

Obtenemos el número de onda:

Ecuación y energía de una onda armónica

La frecuencia angular viene dada por:

Ecuación y energía de una onda armónica

Entonces, la ecuación de la elongación de la onda es:

Ecuación y energía de una onda armónica

Computamos la velocidad y aceleración:

Ecuación y energía de una onda armónica
Ecuación y energía de una onda armónica

 

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