Ejercicio resuelto: Movimiento armónico simple (MAS)

Enunciado

Un objeto de masa se encuentra apoyado sobre una superficie horizontal y sujeto a un muelle. Se observa que oscila sobre la superficie, en la dirección del eje , siguiendo un MAS de frecuencia con una amplitud de . Si en el instante inicial, la elongación de la partícula es igual a la mitad de la máxima elongación o amplitud, determine:

a) Las ecuaciones de la elongación y la velocidad de la masa en cualquier instante de tiempo.

b) El período de oscilación de la masa, su aceleración máxima y la fuerza máxima que actúa sobre la misma.

c) La constante elástica del muelle, así como la energía cinética, la energía potencial y la energía total del objeto cuando pasa por uno de sus puntos de máxima elongación.

Solución

Del enunciado se obtienen los siguientes datos: 

• La masa del objeto es

• La frecuencia del MAS es

• La amplitud del MAS es

• Para se cumple que

• No hay rozamiento con la superficie horizontal.

a) Las ecuaciones de la elongación y la velocidad de la masa en cualquier instante de tiempo.

La ecuación de la posición de una partícula en MAS considerando la fase inicial es:

donde

• es la posición en el instante 𝑡,

• es la amplitud de la oscilación,

• es la velocidad angular,

• es la fase inicial.

Calculamos la velocidad angular:

Para calcular la fase inicial utilizamos que y :

Entonces, la ecuación de la elongación es:

Para calcular la ecuación de la velocidad, basta derivar esta última respecto del tiempo:

Por lo tanto, la ecuación de la elongación es:

Y la ecuación de la velocidad es:

b) El período de oscilación de la masa, su aceleración máxima y la fuerza máxima que actúa sobre la misma.

El periodo de oscilación se calcula como la inversa de la frecuencia:

La aceleración se calcula como la derivada de la velocidad:

Como se tiene que la aceleración máxima (en módulo) es:

Además, la fuerza máxima (en módulo) es:

Calculamos la constante elástica del muelle:

Entonces,

Por lo tanto, el período de oscilación de la masa es , su aceleración máxima es y la fuerza máxima que actúa sobre la misma es .

c) La constante elástica del muelle, así como la energía cinética, la energía potencial y la energía total del objeto cuando pasa por uno de sus puntos de máxima elongación.

La constante elástica del muelle fue calculada anteriormente:

Nótese que cuando , se tiene que :

Así,

La energía potencial elástica viene dada por:

Finalmente, la energía total es:

Por lo tanto, la constante elástica del muelle es . Cuando la masa pasa por uno de sus puntos de máxima elongación, la energía cinética es , la energía potencial es , y la energía total del objeto es .