Combinación lineal y dependencia de vectores

¿Qué es una combinación lineal de vectores?

Es una suma de varios vectores, cada uno de ellos multiplicados por un escalar (un número real). Un ejemplo:

Es decir, el vector se puede expresar como combinación lineal del ; del; del; y de otros muchos más vectores.

¿Dependencia/Independencia lineal?

Un conjunto de vectores se dice linealmente independiente si no puedo expresar ninguno de ellos como combinación lineal de los demás. Por ejemplo:

Son linealmente independientes, pues no puedo expresar en función de y viceversa.

Otro ejemplo de conjunto linealmente independiente:

Un conjunto de vectores se dice linealmente dependiente si puedo expresar alguno de ellos como combinación lineal de los demás. Por ejemplo:

Son linealmente dependientes, pues en todos los casos puedo expresar uno de los vectores en función de los demás.

Truco: si estoy en un espacio de dimensión n, cualquier conjunto de más de n vectores será linealmente dependiente. Es decir, en espacios 2D puedo tener conjuntos de a lo sumo 2 vectores linealmente independientes; en 3D como mucho conjunto de 3 vectores dependientes; y así sucesivamente.

¿Qué es una base?

Es un conjunto de vectores linealmente independientes. Se les llama base porque podremos expresar todos los vectores del espacio como combinación lineal de los de la base. Por ejemplo:

Podré expresar cualquier vector en función de esos dos:

La base más típica es la base canónica 

Ejercicios Resueltos

1. Estudia la dependencia/independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores. Si fueran dependientes, exprese uno de los vectores como combinación lineal de los demás:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Solución

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)