Calcular dónde se anula el campo gravitatorio

Enunciado

Una partícula de masa 10 kg está situada en el origen de coordenadas. Una segunda partícula de masa 30 kg está situada sobre el eje X, en el punto A(6,0). Considera que todas las coordenadas están expresadas en unidades del SI y calcula:

1. El módulo del campo gravitatorio en el punto B(0,2).
2. El punto sobre el eje de abscisas para el cual el campo gravitatorio es nulo.

3. El trabajo que realiza el campo gravitatorio cuando la masa de 30 kg se traslada desde el punto A(6,0) hasta el punto C(0,6).

    

Solución

Tenemos los siguientes datos:

• Masa ubicada en el origen .

• Masa ubicada en el punto .

• Punto .

• Punto .

• Constante gravitacional:

Vamos a resolver cada apartado por separado:

1. El módulo del campo gravitatorio en el punto B(0,2).

Representamos en primer lugar la situación descrita por el enunciado:

Sabemos que la expresión del campo gravitatorio (en módulo) es:

donde es la masa del cuerpo que genera dicho campo, es la constante gravitacional y es la distancia desde la masa hasta el punto.

Para la masa , vemos que:

Entonces, tal y como se observa en el dibujo:

De manera similar, para la masa se tiene que:

Debemos descomponer en su componente vertical y horizontal. Para ello, obtenemos primero el ángulo del vértice B:

Por ende,

Entonces, aplicando el principio de superposición:

Hallamos el módulo:

Por lo tanto, el módulo del campo gravitatorio en el punto es

2. El punto sobre el eje de abscisas para el cual el campo gravitatorio es nulo.

El dibujo correspondiente a este apartado es:

En el punto debe cumplirse que:

Tomando raíces cuadradas en ambos lados:

Por lo tanto, el campo gravitatorio es nulo en el punto sobre el eje

3. El trabajo que realiza el campo gravitatorio cuando la masa de 30 kg se traslada desde el punto A(6,0) hasta el punto C(0,6).

La energía potencial en el campo gravitatorio viene dada por:

Además, sabemos que el trabajo realizado por el campo gravitatorio es la diferencia entre la energía potencial inicial y la energía potencial final:

Por lo tanto, el trabajo realizado por el campo gravitatorio es 0 J. Esto se debe a que los puntos A y C se encuentran en una misma superficie equipotencial.