Transformaciones geométricas en el plano

Las transformaciones geométricas en el plano son transformaciones isométricas, es decir, se conservan sus medidas. La figura original y la figura transformada mantienen todas las magnitudes y los ángulos iguales.

Simetría

La simetría es una transformación geométrica en el plano en la que cualquier punto y su simétrico son equidistantes al elemento de simetría (sea simetría con respecto a un punto o a un eje) y se encuentran a distintos lados de este. 

Tenemos dos tipos de simetría, axial (eje) y central (punto):
 

Simetría axial (eje)

Cada punto es correspondido por un simétrico generando una recta perpendicular entre ambos al eje de simetría, estando ambos a distintos lados del eje y a la misma distancia de este.

Cualquier punto sobre el eje de simetría es simétrico de él mismo, por lo tanto, lo denominamos como punto doble.

Simetría central (punto)

Los puntos y sus simétricos se encuentran alineados con el centro de simetría, al otro lado y a igual distancia a este.

Giro o rotación

Es una transformación geométrica en la que intervendrán tres elementos:

• Centro de giro
• Ángulo de giro
• Sentido de giro (horario o antihorario)

Traslación

Es un desplazamiento de una figura punto a punto, dicho desplazamiento viene dado por un vector. El vector estará determinado por una magnitud, dirección y sentido.

A efectos prácticos consiste en hacer por cada punto rectas paralelas a la dirección dada y llevar las medidas determinadas por la magnitud en el sentido dado.

Ejercicios resueltos

1. Trazar la figura simétrica a la dada respecto a un eje dado.

Solución

1. Trazamos perpendicular desde el punto “a” al eje dado. Sobre esa perpendicular tomamos la medida de “a” al eje y la llevamos al otro lado de la perpendicular.

2. Realizamos el mismo proceso con los otros puntos. Perpendicular al eje, prolongar y llevar la distancia del punto al eje al otro lado. 

3. Unimos los puntos simétricos entre sí en el orden correcto y obtenemos la figura simétrica. 

 

2. Trazar la figura simétrica a la dada respecto a un punto de simetría.

Solución

1. Unimos el punto “a” con el centro de simetría y prolongamos. Sobre esta recta tomamos la medida de “a” al centro de simetría “o” y lo llevamos al otro lado de la recta obteniendo “a’” punto simétrico. 

2. Realizamos el mismo proceso con el resto de puntos. Unir con el centro, prolongar hacia el otro lado y tomar la medida del punto al centro de simetría hacia el otro lado del punto de simetría.

3. Unimos los puntos en el orden correcto y obtenemos la pieza simétrica a la dada.

 

3. Trasladar una figura en función al vector dado.

Solución

1. Trazamos una paralela al vector dado desde “a”. Sobre esta recta paralela tomamos la medida del vector hacia el sentido del vector y marcamos con el compás. 

2. Hacemos el mismo proceso con el resto de puntos.

3. Unimos los puntos con el orden correcto y obtenemos la figura trasladada.

 

4. Girar una figura un ángulo dado.

Solución

1. Unimos el punto “a” con el centro de giro. Con el ángulo dado trazamos circunferencia auxiliar obteniendo el punto 1 y con estos puntos copiaremos el ángulo sobre la recta anterior desde “a”. 

2. Realizamos el mismo proceso con el resto de puntos. Unimos los puntos girados y obtenemos la figura rotada.