Homología

Es una transformación homográfica anamórfica (van a cambiar tamaño, proporción y ángulos). En homología se cumple siempre que todos los puntos y sus homólogos están alineados y convergen en el centro de homología. Todas las rectas y sus homologas convergen en el eje de homología.

Elementos de una homología

Centro de homología.

Es el punto donde convergen todos los puntos y sus homólogos. Se puede considerar punto desde el que irradian las rectas que pasa por pares de puntos homólogos. 

Eje de homología.

Es la recta donde convergen todas las rectas y sus homologas. Es el lugar geométrico de los puntos dobles, puntos que coinciden con sus propios homólogos. 

Rectas límite.

Lugar geométrico de los puntos que tienen sus homólogos en el infinito. Es una recta paralela al eje de homología formada por puntos que no tienen homólogos.

Las rectas límite pueden encontrarse:

• Entre centro de homología y eje de homología.
• Fuera del centro de homología y eje de homología.

Existen dos rectas límite. Una de ellas tiene la misma distancia al centro, como la otra al eje de homología. 

Existen dos tipos de homología: directa cuando los puntos homólogos se encuentran al otro lado del eje, o inversa cuando los puntos y sus homólogos se encuentran al mismo lado del eje de homología. 

Ejercicios resueltos básicos con elementos de homología

1. Hallar el homólogo a un punto conociendo un par de puntos homólogos, centro y eje.

Solución

1. Lanzar recta desde el centro de homología a “b”. El homologo de “b” debe encontrarse en esa recta.

2. La recta ab y su homologa a’b’ confluyen en el eje de homología. Trazamos recta ab hasta el eje obteniendo un punto doble 1-1’. Desde 1-1’ unimos de nuevo con a’, obteniendo la recta a’b’. Donde se crucen el rayito de “b” con la recta a’b’ se encontrará el homologo a “b”. 

 

2. Conocido el centro O, una recta límite y el eje, hallar el homólogo del punto P.

Solución

1. Unimos el punto P con el centro O, en esa recta se encontrará su homólogo.

2. Trazamos una recta arbitraria que pase por P y que corte en un punto 1 a la recta limite y en 2 al eje de homología.

3. Unimos 1 con O, y trazamos una recta paralela a esta desde 2. Donde corte al rayito de P se encontrará su homologo.
 

 

3. Obtener las rectas límite conocido un par de puntos homólogos, centro y eje.

Solución

1. Tomamos un punto arbitrario en el eje de homología, un punto doble.

2. Unimos P y P’ con el punto doble obteniendo dos rectas

3. Trazamos paralelas desde el centro de homología a esas dos rectas, donde corten a las otras anteriores se encontrarán las rectas límite.

 

4. Obtener el centro de homología conociendo un par de puntos homólogos, recta límite y eje.

Solución

1. Unimos P y P’, en esa recta se debe encontrar el centro de homología.

2. Trazamos una recta arbitraria que pase por P y corte al eje de homología en 2 y a la recta límite en 1.

3. Unimos 2 con P’ y trazamos paralela desde 1, donde corte al rayito de P estará el centro de homología.

 

Ejercicios resueltos de homología

1. Determinar la figura homóloga a la dada conociendo centro, eje y recta límite.

Solución

1. Unimos cada punto con el centro de homología.

2. Prolongamos C’A’ hasta que corte al eje de homología en 2. Trazamos paralela a esa recta desde O obteniendo 1 donde corte a la Recta límite. Uniendo 1 y 2, donde corten a los rayitos de C’ y A’ obtendremos los puntos homólogos.

3. Realizamos el mismo proceso con el punto B’. Una vez obtenido B unimos los puntos en orden y obtendremos la figura homologa a la dada. 

 

2. Trazar la figura homologa inversa a la dada, conociendo centro, eje y recta límite.

Solución

1. Unimos todos los puntos con el centro de homología, sabemos que sus puntos homólogos estarán sobre esas líneas.

2. Prolongamos la recta AB obteniendo sobre el eje de homología un punto doble 1-1’, si unimos ese punto con el centro de homología obtenemos P sobre la recta límite.

3. Unimos P con A, cortando el eje de homología en el punto 2-2’. Trazamos paralela a OP por 2-2’ y obtendremos A’.

4. Una vez obtenido A’ el ejercicio se convierte en una homología normal. Desde 1-1’ unimos con A’ y donde corta al rayito de B estará B’.

5. Procedemos con CB como antes y obtenemos C’.

6. Unimos los puntos obteniendo el triángulo homólogo A’B’C’.

 

3. Trazar la figura homologa a la dada. 

Solución

1. Unimos todos los puntos con el centro de homología, sus homólogos estarán en estas rectas.

2. La intersección de AB con el eje da un punto doble 1-1’. Prolongamos AB hasta que corte a la recta límite en P, unimos P con O. A’B’ estarán en la paralela a esta recta desde 1-1’. Obtenemos el punto A’ y B’. A partir de aquí se realiza como cualquier ejercicio de homología.

3. Obtenemos el punto C’ prolongando BC hasta obtener un punto doble 2-2’. Unimos con B’ y donde corte al rayito de C obtenemos C’.

4. Unimos los puntos homólogos y obtenemos la figura homologa a la dada.