Inversión

Introducción

La inversión es un tipo de transformación geométrica en la que a una figura le corresponde otra cumpliéndose:

• Un punto y su inverso están alineados con el centro de inversión.
• Si multiplicamos la distancia de un punto al centro de inversión por la distancia del punto inverso al mismo centro, obtenemos un factor constante K llamado potencia de inversión.

OA*OA’ = OB*OB’ = K = OT*OT

La potencia de inversión K será positiva cuando el centro de inversión se encuentra a uno de los lados de la pareja de puntos inversos.

La potencia de inversión K será negativa cuando el centro de inversión se encuentra entre los pares de puntos inversos.

Existen puntos donde su inverso corresponde a sí mismo, estos puntos se caracterizan por que se encuentran a una distancia del centro de inversión igual a raíz de K.

Todos los puntos que tienen esa característica se encuentran en un lugar geométrico llamado circunferencia de puntos dobles (en inversión directa) o circunferencia de auto inversión negativa (en inversión indirecta). 

Para obtener la circunferencia de puntos dobles, basta con buscar las rectas tangentes desde el centro de inversión hasta cualquier circunferencia de pares de puntos. Los puntos de tangencia cumplirán que la distancia del punto al centro es igual a la de su inverso y por tanto se encuentran a una distancia de .

Esta circunferencia si la comparamos un poco con el resto de transformaciones geométricas, se asemejaría al eje de afinidad u homología. Es un elemento en el cual nos vamos a apoyar para obtener los inversos de los puntos.

En el caso de la inversión indirecta o de potencia negativa, los puntos no serán dobles, sino que se encontrarán a la misma distancia de O ambos, pero situados a diferentes lados de la circunferencia, en este caso de auto inversión negativa.

Obtener el inverso de un punto

En función a los datos que se nos aporten, podremos trabajar con unos elementos u otros, pero se recomienda por lo general como prioridad la de obtener la circunferencia de puntos dobles o auto inversión negativa, ya que es válida para todos los casos posibles.

Hallar el inverso de un punto basándonos en la circunferencia de pares de puntos.

1. Sabemos que A-A’ tiene que estar alineado con O, al igual que OB con B’. Unimos O con B, en esta recta se encontrará B’.

2. La circunferencia de pares de puntos pasará por AA’ y B. En esa misma circunferencia de pares de puntos se encontrará B’. De la misma forma B, B’ y O estarán alineados.

Hallar el inverso de un punto basándonos en la circunferencia de puntos dobles.

1. En este ejercicio obtendremos el inverso de A, punto dentro de la circunferencia de puntos dobles y el inverso de D’, punto situado fuera de la misma circunferencia. Comenzaremos con A, sabemos que A’ se sitúa alineado con A y O.

2. Desde A, tomaremos un punto doble auxiliar B-B’, perpendicular a la recta que une A, A’ y O.

3. Unimos el punto doble B, B’ con O. Trazamos perpendicular a este radio y donde corte a la recta A-A’-O estará situado A’.

4. Procedemos ahora con el punto D’ situado fuera. El proceso es el mismo, pero a la inversa. Unimos D’ con O, sabemos que D estará en esa recta.

5. Trazamos arco capaz de 90º entre D’ y O, donde corte a la circunferencia de puntos dobles obtendremos el punto auxiliar E-E’.

6. Por último, desde E-E’ trazamos perpendicular a la recta D’-O y obtenemos el inverso D.

Hallar la circunferencia de puntos dobles dados un punto y su inverso. 

Se nos puede plantear el caso de que no nos den la circunferencia de puntos dobles en el enunciado. Para obtenerla basta con calcular la potencia del ejercicio. En le siguiente ejercicio aprenderemos a obtenerla.

1. Para obtener la circunferencia de puntos dobles debemos calcular la potencia del ejercicio; la obtendremos de los puntos tangentes a la propia circunferencia. Todos los puntos dobles son los puntos de tangencia resultantes de generar rectas tangentes a la circunferencia de puntos dobles. Para obtenerlos comenzamos uniendo A, A’ y O.

2. Hacemos el arco capaz de 90º entre A’ y O, ya que cualquier recta tangente a una circunferencia, genera un radio perpendicular. Obtenemos el punto auxiliar C-C’ desde A.

3. Concentrando en O y con radio OC-C’ obtendremos la circunferencia de puntos dobles. Todos los puntos que generan esta circunferencia están en la potencia.

4. Apoyándonos en esta circunferencia de puntos dobles podremos obtener le inverso del cualquier punto con lo aprendido en el ejercicio anterior. Buscamos el inverso ahora de B. Comenzamos uniendo B con O.

5. Perpendicularmente desde B a la recta BO, obtenemos el auxiliar D-D’. 

6. Uniendo D-D’ con O sacamos el radio y perpendicular a este donde corte a BO obtenemos B’.

7. Si observamos lo hecho en el ejercicio 1.1. obtenemos B’ en el mismo lugar que lo obteníamos mediante la circunferencia de pares de puntos, por lo que ambos métodos nos generan el mismo inverso.

Hallar el punto inverso negativo basándonos en la circunferencia de auto inversión negativa. 

1. En una inversión negativa, el inverso de un punto no se encuentra donde correspondería en una inversión positiva, sino en el simétrico respecto al centro de inversión. Si queremos obtener el simétrico de A, debemos proceder como en una inversión positiva y una vez obtenido el auxiliar P, buscar el simétrico y obtendremos A’. 

2. Se puede proceder también realizando perpendiculares a los radios generados por los auxiliares C-C’

Obtener inverso de rectas y circunferencias.

A diferencia de lo que ocurre en afinidad y homología, en inversión las figuras no se corresponden a otras desde un aspecto lógico. Una recta no tiene por qué tener como inversa otra recta como ocurría en las otras transformaciones geométricas. Del mismo modo ocurre con las circunferencias. Para averiguar lo que les ocurre a estos elementos, trabajaremos con ellos en una serie de ejercicios de los cuales sacaremos algunas conclusiones que deberemos tener en cuenta siempre.

Hallar la recta inversa a una recta que pasa por el centro de inversión. 

1. Tenemos una recta que pasa por el centro de inversión. Para obtener la inversa sin saber previamente que va a ocurrir con esta recta procederemos de la siguiente forma. Sacaremos un par de puntos y veremos donde están sus puntos inversos.

2. Partimos de que en los puntos dobles se encuentran sus propios inversos. Cualquier punto de la recta, tiene su inverso sobre la propia recta. De esto podemos deducir que una recta que pasa por el centro de inversión, tiene como inversa a ella misma.

Hallar la inversa a una recta que NO pasa por el centro de inversión. 

1. Tomamos puntos de la recta y vamos obteniendo sus inversos como si se tratasen de puntos individuales. Obtenemos A’ y C’ apoyándonos en los auxiliares que nos da la circunferencia de puntos dobles.

2. Seguimos sacando puntos obteniendo el E’.

3. Podemos observar que los puntos inversos E’, A’ y C’ tienden a generar un arco de circunferencia. Sacando doble mediatriz podemos obtener el centro y sacar la circunferencia que forman.

4. Vemos pues que una recta que NO pasa por el centro de inversión, se convierte en una circunferencia que pasa por el centro de inversión O.

Hallar la inversa a una recta que corta al centro de inversión. 

1. Los puntos dobles que pertenecen a la recta tienen su inverso en sí mismo.

2. Sacamos el inverso de puntos cualquiera como el C y el E. Sabemos que la recta R se convertirá en una circunferencia que pasa por O según lo aprendido en el ejercicio anterior.

3. Buscamos el centro de la circunferencia con doble mediatriz. Una vez obtenido el centro trazamos la circunferencia solución R’ en la que se convierte la recta R.

Hallar la inversa a una circunferencia que NO pasa por el centro de inversión. 

1. Este ejercicio lo abordaremos de la misma forma que los anteriores, tomaremos puntos cualquiera de la circunferencia y los invertiremos.

2. Tomamos en este caso el punto A, el D y el C y los invertimos apoyándonos en la circunferencia de puntos dobles (arcos capaces de 90 º y perpendicular desde los puntos auxiliares).

3. Como hemos tomado puntos alineados no sabemos muy bien como se va a comportar la inversa de la circunferencia. Tomamos el punto E cualquiera y lo invertimos.

4. Vemos que los puntos generan un arco de circunferencia. Mediante doble mediatriz obtenemos la inversa de la circunferencia dada. 

5. Podemos sacar como conclusión que una circunferencia que no pasa por el centro de inversión, se convierte en otra que tampoco pasa por el centro de inversión y que ambas estarán alineadas por sus rectas tangentes al mismo centro de inversión (rectas tangentes exteriores).

Hallar la inversa a una circunferencia que pasa por el centro de inversión. 

1. Este ejercicio lo abordaremos de la misma forma que los anteriores, tomaremos puntos cualquiera de la circunferencia y los invertiremos.

2. Tomamos en este caso el punto A, el B y el C y los invertimos apoyándonos en la circunferencia de puntos dobles (unir con centro, perpendicular desde los puntos a esa recta y perpendicular al radio con el punto auxiliar).

3. Vemos que los 3 puntos se alinean y forman una recta, de lo que deducimos que cualquier circunferencia que pase por el centro de inversión se convierte en una recta.

Conclusiones de la inversión de rectas y circunferencias

De todo lo anteriormente trabajado podemos sacar las siguientes conclusiones:

• Una recta que pasa por el centro de inversión, se convierte en ella misma.

   

• Una recta que no pasa por el centro de inversión, se convierte en una circunferencia que SI pasa por el centro de inversión.

   

• Una circunferencia que SI pasa por el centro de inversión se convierte en una recta.

   

• Una circunferencia que NO pasa por el centro de inversión se convierte en otra circunferencia que NO pasa por le centro de inversión, y estas tienen rectas tangentes exteriores comunes con el centro de inversión.