Afinidad

La afinidad es un tipo de transformación homográfica, se considera un caso particular de homología en la cual, el centro de homología se encuentra en el infinito. Por tanto, en Afinidad no contamos con centro de homología, sino con dirección de afinidad. 

En afinidad cada punto y su afín están alineados por rectas (dirección de afinidad). Todas ellas son paralelas entre sí

Cada recta y su afín, al igual que ocurre en homología, confluyen en el eje de afinidad, elemento que se mantiene con respecto a la homología. 

Elementos de afinidad

Como se ha mencionado anteriormente contaremos con:

• Una dirección de afinidad. Rectas que alinean cada punto y su afín, todas ellas paralelas entre sí.
• Eje de afinidad. Recta donde confluyen todas las rectas y sus afines. Cada punto contenido en el eje de afinidad, al igual que ocurría en homología, coincide con su punto afín. 

Existen infinitas direcciones de afinidad, pero en el caso concreto de que la dirección de afinidad es perpendicular al eje de afinidad, se denomina como Afinidad Ortogonal.

En afinidad no tendremos rectas limites, y si dos rectas son paralelas entre sí, sus dos afines también serán paralelas. Al igual sucede con el eje de afinidad, si tenemos una recta paralela al eje de afinidad, su afín también lo será.

Se pueden generar afinidades positivas y negativas. Tendremos una afinidad positiva cuando un punto y su afín se encuentren a distintos lados del eje de afinidad. Tendremos afinidad negativa cuando un punto y su afín se encuentren en el mismo espacio del eje de afinidad

Ejercicios de afinidad

1. Hallar afinidad de un punto dándose el eje de afinidad, un punto y su afín.

Solución

1. Unimos A y A’ obteniendo la dirección de afinidad.

2. Una vez obtenida la dirección de afinidad, trazamos paralela a esta desde B. El punto B’ se encontrará en algún lugar de esta recta.

3. Trazamos la recta AB hasta cortar con eje de afinidad. Todas las rectas y sus afines confluyen en el eje de afinidad generando puntos dobles. Obtenemos el punto 1-1’. Una vez obtenemos 1-1’, unimos este punto doble con A’ generando la recta afín a AB, A’B’.

4. El punto B’ debe encontrarse en la dirección de afinidad de B y en la recta afín A’B’, por tanto, donde se encuentre la combinación de ambas tendremos el punto B’.

 

2. Calcular la figura afín a la dada.

Solución

1. Obtenemos la dirección de afinidad al unir A con A’. 

2. Trazamos paralelas a la dirección de afinidad desde cada punto de la figura. Sabemos que sus puntos afines se encontraran en sus correspondientes direcciones de afinidad.

3. Trazamos las rectas AD hasta el eje de afinidad, obteniendo el punto doble 1-1’. Al unir este ultimo punto con A’ habremos trazado la recta afín A’D’. D’ se encontrará en esta recta y en la dirección de afinidad correspondiente desde D, por tanto, en la combinación de ambas soluciones encontraremos D’.

4. Realizamos el mismo proceso con el resto de puntos obteniendo sus afines.

5. Una vez obtenidos todos los puntos afines de la figura, unimos y obtenemos la figura afín.

 

3. Hallar la figura afín a la dada. Afinidad de figura que traspasa el eje de afinidad.

Solución

1. Unimos A con A’ para obtener la dirección de afinidad. Una vez obtenida trazamos paralelas a esta desde cada uno de los puntos de la figura. Sus afines, se encontrarán en las rectas correspondientes.

2. Obtenemos las rectas afines a las dadas, para ello unimos A con B y prolongamos hasta obtener un punto doble 1-1’. Unimos ese punto doble con el punto A’ obteniendo así el A’B’. B’ debe encontrarse en esta recta y en la recta con dirección de afinidad desde B, por tanto, donde combinen ambas obtenemos el B’. 

3. Realizamos el mismo proceso con el resto de puntos obteniendo el D’.

4. En el caso del C, al encontrarse al otro lado del eje de afinidad, su afín C’ se encontrará en la parte de abajo. Para obtenerlo procedemos como con los puntos anteriores. Uno C con un punto conocido en este caso el B, obtengo punto doble. Uno el punto doble con B’ hasta que corte a la recta con dirección de afinidad de C y obtengo C’. 

5. Uniendo los puntos conseguimos la figura afín a la dada.

 

4. Hallar la figura afín a la dada. Afinidad negativa.

Solución

1. En este caso se nos aporta una afinidad negativa, la figura saldrá en el mismo espacio de trabajo con respecto al eje de afinidad, se comprueba a simple vista con el punto A-A’, se encuentran en la misma zona. 

2. Unimos A con A’ obteniendo la dirección de afinidad y trazamos paralelas desde el resto de puntos.

3. Hallamos las rectas afines a las dadas, para ello unimos A con C y prolongamos hasta obtener un punto doble. Una vez obtenido 1-1’ (punto doble) volvemos a unir con A’, generando la recta afín A’C’. Donde corte a la dirección de afinidad de C estará el punto C’.

4. En el caso de la recta AB, comprobamos que es paralela al eje de afinidad, por tanto, la recta A’B’ será paralela también al eje. Trazamos paralela desde A’ hasta que corte a la dirección de B’ y obtendremos B’.

5. Uniendo todos los puntos afines obtendremos la figura afín. 

 

5. Calcular la figura afín a la dada. Afinidad de una circunferencia.

Solución

1. Se nos pide para este ejercicio construir la circunferencia afín a la dada. Comenzamos como siempre uniendo los dos puntos que conocemos para obtener la dirección de afinidad.

2. Una vez obtenemos la dirección de afinidad trazamos paralelas por cada punto de la figura. Como en este caso no nos dan ningún vértice dado a que es una circunferencia, puedo tomar los infinitos puntos que quiera. En mi caso he trazado dos diámetros, uno paralelo al eje de afinidad y otro perpendicular.

3. Ya que en mi caso concreto un diámetro que he tomado es paralelo al eje de afinidad, su recta afín también lo será, de modo que el punto A’ y B’ son fáciles de obtener trazando paralela al eje desde el centro O’.

4. Para obtener el resto de puntos simplemente deberé relacionarlos con puntos donde ya conozco donde se encuentra su afín. Podemos tomar los puntos auxiliares que necesitemos. Relacionando A-A’ con D, obtengo D’. Del mismo modo relacionando E (un punto auxiliar tomado) con B obtengo el E’ que me servirá para obtener el C’.

5. Una vez obtenidos todos los puntos que necesito, a mano alzada unimos con cuidado y obtenemos la figura afín a la circunferencia dada.

6. Todas las circunferencias cuando son afectadas por una afinidad se convierten en Elipses (curvas cónicas). Cuantos más puntos tomemos, más precisa será nuestra elipse. Si conseguimos obtener los ejes mayor y menor se podrá trazar por los métodos conocidos.