Monotonía, acotación y convergencia

Monotonía

La monotonía de una sucesión hace referencia a si los términos de una sucesión crecen o decrecen conforme aumentamos el valor de . Así una sucesión es:

• Estrictamente creciente si para todo se cumple

• Estrictamente decreciente si para todo se cumple

Por ejemplo:

Son estrictamente crecientes, pues cada valor es siempre mayor que el anterior pero menor que el siguiente

Son estrictamente decrecientes, pues cada valor es siempre menor que el anterior pero mayor que el siguiente

No son estrictamente crecientes ni decrecientes

Acotación

La acotación de una progresión hace referencia a si sus términos tienen algún límite superior o inferior. Así una sucesión está acotada:

• Inferiormente si existe algún número real de manera que todos los términos sean mayores o iguales que ese valor . Es decir, si .

• Superiormente si existe algún número real de manera que todos los términos sean menores o iguales que ese valor . Es decir, si .

Por ejemplo:

Están acotadas inferiormente, pues: 

• Ningún término es menor a
• Ningún término es será menor a  

 Están acotadas superiormente, pues: 

• Ningún término es mayor a
• Ningún término es será mayor a   

Convergencia

La convergencia hace referencia a si los términos tienden a algún valor fijo conforme . Así, una sucesión se dice:

• Convergente si se acerca a algún valor fijo conforme aumenta.

• Divergente si tiende a conforme aumenta.

• Oscilante si no tiende a pero tampoco a un valor fijo conforme aumenta.

Por ejemplo:

Son convergentes, pues en ambos casos tiende a conforme tiende a :

Son divergentes, pues en ambos casos tiende a conforme tiende a

Son oscilantes, pues en ambos casos no tiende a  ni a un valor fijo conforme tiende a , sino que oscilan entre un valor máximo y uno mínimo (en ambos casos oscilan entre y )

Ejercicios resueltos

1. Estudia la monotonía, acotación y convergencia de las siguientes sucesiones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Solución 

a)

Monotonía: Conforme aumenta , mayor es el denominador, manteniendo fijo el numerador, haciendo que disminuya Estrictamente decreciente.

Acotación: Siendo estrictamente decreciente, su cota superior será , y se puede deducir también que nunca será inferior a (cota inferior).

Convergencia: Conforme se tiene que , de manera que la sucesión es convergente a .

 

b)

Monotonía: Creciente

Acotación: (Acotada superior e inferiormente)

Convergencia: Convergente a .

 

c)

Monotonía: Ninguna

Acotación: (Acotada superior e inferiormente)

Convergencia: Convergente a .

 

d)

Monotonía: Ninguna

Acotación: (Acotada superior e inferiormente)

Convergencia: Convergente a .

 

e)

Monotonía: Creciente

Acotación: (Acotada inferiormente)

Convergencia: Divergente a .

 

f)

Monotonía: Creciente

Acotación: (Acotada inferiormente)

Convergencia: Divergente a .